기본 점수 확보
4점
2026년 9월 고1 학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 이차방정식과 이차함수
- 이차함수와 직선의 교점
- 근과 계수의 관계
- 이차함수의 최대·최소
- 두 근의 차 공식
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 그림 속 두 삼각형의 넓이를 교점의 x좌표로 옮기는 문제입니다. 두 삼각형 모두 y축 위의 선분 OC, OD를 밑변으로 가지므로 밑변 길이는 4로 고정되어 있고, 높이는 각각 점 A, B의 x좌표까지의 거리입니다. 결국 넓이 문제가 아니라 “이차함수와 직선이 만나는 두 점의 x좌표가 얼마나 벌어져 있는가”를 묻는 문제입니다.
18번에 배치된 이유는 넓이를 근으로 번역하는 두 단계 변환에 있습니다. 교점의 x좌표를 직접 구하면 m이 섞인 근호가 나와 계산이 무거워지지만, 근과 계수의 관계를 쓰면 α와 β를 구하지 않고도 (β − α)²를 m의 식으로 바로 얻을 수 있습니다. 여기에 m의 범위가 2 이상이라는 조건이 붙어, 완성된 이차식의 꼭짓점이 범위 밖에 있다는 점까지 확인해야 답이 나옵니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
x² + x − 4 = mx + 4 → x² + (1 − m)x − 8 = 0
A, B의 x좌표 α, β는 이 방정식의 두 근입니다. 상수항이 −8로 음수이므로 두 근의 부호가 다르고, 그림처럼 α는 음수, β는 양수임이 자동으로 보장됩니다.
S₁ = ½ × 4 × (−α) = −2α, S₂ = ½ × 4 × β = 2β
A는 y축 왼쪽에 있으므로 높이는 −α입니다. 두 넓이를 더하면 S₁ + S₂ = 2(β − α)이고, 이것은 두 근의 차의 2배입니다.
(β − α)² = (α + β)² − 4αβ = (m − 1)² + 32
α + β = m − 1, αβ = −8을 넣으면 근을 구하지 않고도 차의 제곱이 m만의 식으로 정리됩니다.
(S₁ + S₂)² = 4(m − 1)² + 128, 2 ≤ m ≤ 6
이 식만 보면 m = 1에서 가장 작지만 1은 범위 밖입니다. 축 m = 1보다 오른쪽만 허용되므로 범위의 왼쪽 끝 m = 2에서 최소가 됩니다.
정답 확인
정답 ② 132
상세 해설
더 빠른 풀이 · 판별식으로 두 근의 차를 바로 읽기
근과 계수의 관계를 두 번 쓰는 대신, “두 근의 차의 제곱은 판별식을 이차항 계수의 제곱으로 나눈 것”이라는 공식을 쓰면 한 줄로 끝납니다.
이 방법의 장점은 “두 근이 서로 다른 실수인가”를 별도로 확인할 필요가 없다는 점입니다. D가 항상 32 이상으로 양수이므로 어떤 m에서도 교점 두 개가 존재한다는 사실이 판별식 안에 이미 들어 있습니다.
실수를 줄이는 노하우
- S₁의 높이는 α가 아니라 −α입니다. 그림에서 A가 y축 왼쪽에 있는데도 높이를 α로 쓰면 S₁ + S₂ = 2(α + β) = 2(m − 1)이 되어 m에 따라 값이 커지기만 하는 엉뚱한 식이 나옵니다. 거리는 항상 양수로 두세요.
- 4(m − 1)² + 128의 최솟값을 습관적으로 꼭짓점 m = 1에 넣으면 128이 나옵니다. 128은 선지에 없고, 이때 가장 가까운 ① 130으로 흘러가기 쉽습니다. 범위 2 ≤ m ≤ 6을 먼저 확인하고 축이 범위 밖에 있으면 범위 끝값을 넣으세요.
- (β − α)²를 전개할 때 −4αβ의 부호를 놓치기 쉽습니다. αβ = −8이므로 −4αβ = +32입니다. 여기서 −32로 쓰면 (m − 1)² − 32가 되어 m = 2에서 음수가 나오고, 제곱이 음수라는 모순이 보이면 즉시 부호를 되짚으세요.
- 교점의 방정식을 세울 때 우변의 +4를 좌변으로 넘기면 상수항이 −4 − 4 = −8입니다. −4만 남기면 αβ = −4가 되어 (β − α)² = (m − 1)² + 16이 되고, 답이 4 + 64 = 68로 선지에서 크게 벗어납니다.
- 문제가 묻는 것은 S₁ + S₂가 아니라 그 제곱의 최솟값입니다. 2(β − α)를 제곱하면 계수가 4가 됩니다. 2를 그대로 두고 2{(m − 1)² + 32}로 계산하면 66이 나오니, 마지막에 구한 값이 선지 130~138 근처인지 확인하세요.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 18번 시작 지점(14분 38초)부터 재생됩니다.
전 문항 손풀이로 확인하고 싶다면 고1 전문항 풀이 영상도 있습니다.