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킬러 문항
4점
2026년 09월 고1 학력평가 · 수학
킬러 문항
4점
2026년 09월 고1 학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 이차방정식과 이차함수
- 이차함수의 꼭짓점과 대칭
- 서로 다른 실근의 개수
- 근의 겹침 경우 분류
- 등간격 근 읽기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 두 이차함수의 그래프를 “근의 위치”로 옮기는 문제입니다. f(x)=6은 f의 꼭짓점 높이 2에서 4만큼 올라간 자리이고, g(x)=2는 g의 꼭짓점 높이 6에서 4만큼 내려간 자리입니다. 계수가 ±¼이므로 두 자리 모두 꼭짓점에서 좌우로 4씩 떨어진 점, 즉 a±4와 b±4입니다. 근 후보는 네 개인데 서로 다른 실근은 셋뿐이고, 그 셋이 −3부터 t 간격으로 나란히 놓여 있습니다.
21번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 겹침의 처리에 있습니다. 네 근 중 정확히 한 쌍만 겹쳐야 하고, 어느 쌍이 겹치는지에 따라 a와 b의 좌우가 바뀝니다. 그 둘을 마지막 조건 g(0)>0이 갈라놓습니다. 경우를 빠뜨리거나 조건을 안 쓰면 값이 두 개 나와 멈추도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 두 방정식을 각각 풀면 근은 꼭짓점 ±4
¼(x−a)² = 4 → (x−a)² = 16 → x = a±4
g(x)=2도 같은 계산으로 x = b±4입니다. 우변의 4에 다시 4를 곱해 16을 만드는 것이 첫 관문입니다.
¼(x−a)² = 4 → (x−a)² = 16 → x = a±4
g(x)=2도 같은 계산으로 x = b±4입니다. 우변의 4에 다시 4를 곱해 16을 만드는 것이 첫 관문입니다.
② 곱이 0이면 근은 두 방정식 근의 합집합
{a−4, a+4, b−4, b+4} 중 서로 다른 것이 3개
후보 네 개에서 셋만 남으려면 정확히 한 쌍이 같은 값이어야 한다는 뜻입니다.
{a−4, a+4, b−4, b+4} 중 서로 다른 것이 3개
후보 네 개에서 셋만 남으려면 정확히 한 쌍이 같은 값이어야 한다는 뜻입니다.
③ 겹치는 쌍은 세 가지, 살아남는 건 두 가지
a=b → 근 2개(탈락) / a−4=b+4 / a+4=b−4
같은 문자의 두 근은 항상 8 차이입니다. 그래서 남는 세 근은 자동으로 8 간격이 되고 t=8이 정해집니다.
a=b → 근 2개(탈락) / a−4=b+4 / a+4=b−4
같은 문자의 두 근은 항상 8 차이입니다. 그래서 남는 세 근은 자동으로 8 간격이 되고 t=8이 정해집니다.
④ g(0)>0은 b가 0 근처라는 뜻
g(0) = −¼b² + 6 > 0 ⇔ b² < 24
b=1은 통과하고 b=9는 탈락합니다. 이 한 줄이 두 경우 중 하나를 골라 줍니다.
g(0) = −¼b² + 6 > 0 ⇔ b² < 24
b=1은 통과하고 b=9는 탈락합니다. 이 한 줄이 두 경우 중 하나를 골라 줍니다.
정답 확인
정답 ⑤ f(t)+g(t) = f(8)+g(8) = −4
상세 해설
더 빠른 풀이 · 간격 8을 먼저 읽고 좌우만 판단하기
세 경우를 모두 그려 보는 대신, 근의 간격에서 t를 먼저 확정하고 “왼쪽이 f인가 g인가”만 판단하면 그림 한 장으로 끝납니다.
1단계 a−4와 a+4는 8 차이, b−4와 b+4도 8 차이입니다. 한 쌍이 겹쳐 세 근만 남으면 그 셋은 8 간격으로 나란히 섭니다. 따라서 t=8이고 세 근은 −3, 5, 13으로 고정됩니다. a=b이면 근이 둘뿐이므로 볼 필요가 없습니다.
2단계 맨 왼쪽 −3이 b−4인지 a−4인지만 정하세요. g(0)>0은 |b|<2√6≈4.9라는 뜻이므로 b는 0 근처여야 합니다. b−4=−3, 즉 b=1이 맞고 a=9입니다. 반대로 두면 b=9가 되어 조건에 걸립니다.
3단계 f(8)+g(8)에서 제곱 항끼리 먼저 묶으세요. ¼(8−9)² − ¼(8−1)² = ¼(1−49) = −12이고, 상수 2+6=8을 더하면 −4입니다.
해설처럼 세 경우를 다 그리는 것이 정석이지만, 시험장에서는 “간격 8 → t=8 → g(0)으로 좌우 결정” 세 줄이면 2분 안에 끝납니다.
실수를 줄이는 노하우
- ¼(x−a)²=4에서 (x−a)²을 4가 아니라 16으로 만드세요. 4로 두면 근이 a±2가 되어 t=4로 흘러가고, 이후 계산이 전부 어긋납니다.
- a=b인 경우를 “근 4개”로 착각하지 마세요. a±4와 b±4가 통째로 겹쳐 서로 다른 실근은 2개뿐입니다. 문제의 “서로 다른”이라는 말이 이 경우를 지우는 장치입니다.
- a+4=b−4인 경우도 근 3개, 등간격 조건을 모두 통과합니다. 여기서 멈추고 a=1, b=9로 계산하면 g(0)=−57/4로 조건 위반입니다. 문제 끝에 붙은 g(0)>0은 마지막에 쓰는 조건이 아니라 경우를 고르는 조건입니다.
- f(8)+g(8)을 계산할 때 상수 2와 6을 빼먹으면 제곱 항 합계 −12만 남아 ①로 흘러갑니다. 6만 더하면 −6으로 ④, 2만 더하면 −10으로 ②입니다. 오답 선지 셋이 전부 상수 누락에서 나옵니다.
- 구하는 값은 f(t)+g(t)이고 t=8이므로 x=8을 넣습니다. −3+t=5를 넣으면 5가 근이라 f(5)=6, g(5)=2가 나오는데, 이 값이 너무 깔끔해서 오히려 맞다고 착각하기 쉽습니다. 무엇을 대입하는지 한 번 더 확인하세요.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 21번 풀이 지점(36분 25초)부터 시작합니다.
전체 문항을 순서대로 보고 싶다면 고1 전문항 풀이 영상도 있습니다.