1등급 갈림길
4점
2026년 09월 고1 전국연합학력평가 · 수학
- 공통수학2 · 이차함수
- 이차함수의 그래프와 x축
- 이등변삼각형
- 두 점 사이의 거리
- 경우 분류 + 범위 검증
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 이차함수의 식 하나를 좌표 세 개로 바꾸는 문제입니다. f(x) = (x+3)(x−k)는 인수분해된 형태이므로 x축과 만나는 두 점은 바로 읽히고, y축과 만나는 점은 x = 0을 대입하면 나옵니다. 세 점의 좌표가 잡히면 이등변삼각형이라는 도형 조건은 변의 길이에 관한 방정식으로 번역됩니다.
28번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 분류의 완전성에 있습니다. 이등변삼각형은 어느 두 변이 같은지에 따라 세 가지 경우가 있고, 문제는 그중 어느 것인지 알려 주지 않습니다. 게다가 f(−2) < f(0)이라는 조건이 k의 범위를 미리 좁혀 두고 있어서, 방정식을 풀어 나온 k를 그대로 쓰면 안 되고 반드시 범위로 걸러야 합니다. 세 경우 중 두 개는 이 검증에서 탈락하도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
f(x) = (x+3)(x−k) → A(−3, 0), B(k, 0), C(0, −3k)
x축과의 교점은 f(x) = 0의 두 근이고, y축과의 교점은 f(0) = 3·(−k) = −3k입니다. k > 0이므로 C는 x축 아래에 있습니다.
−2 − k < −3k → 2k < 2 → 0 < k < 1
이 부등식은 도형과 아무 상관없어 보이지만, 마지막에 답을 고르는 필터 역할을 합니다. 문제를 읽자마자 따로 적어 두세요.
AB = 3 + k, BC² = 10k², AC² = 9 + 9k²
A와 B는 모두 x축 위에 있으므로 AB는 좌표의 차 k − (−3)입니다. 나머지 두 변은 직각삼각형에서 피타고라스 정리로 얻되, 근호를 씌우지 말고 제곱인 채로 두어야 계산이 편합니다.
AB = BC 또는 AB = AC 또는 AC = BC
세 경우를 모두 세운 뒤 각각에서 나온 k가 0 < k < 1을 만족하는지 확인합니다. 살아남은 k는 하나뿐입니다.
정답 확인
정답 167 (넓이 = 135/32, p = 32, q = 135)
상세 해설
더 빠른 풀이 · 가장 짧은 변을 먼저 찾아 경우를 지우기
세 경우를 모두 방정식으로 푸는 대신, 0 < k < 1이라는 범위를 먼저 써서 변의 대소를 정하면 풀 방정식이 하나로 줄어듭니다.
이 방식은 범위 조건이 주어진 도형 문제에서 특히 강력합니다. 조건이 주어졌다는 것은 곧 “여러 경우 중 대부분을 지우라”는 신호이므로, 방정식을 세우기 전에 대소부터 비교해 보는 습관을 들이세요.
실수를 줄이는 노하우
- f(−2)를 구할 때 (−2+3)(−2−k) = −2 − k입니다. 앞 인수 (−2+3) = 1을 −1로 잘못 보면 부등식의 방향이 뒤집혀 k > 1이 되고, 그러면 (ⅲ)의 k = 3이 살아남아 넓이가 27, 답이 28로 흘러갑니다. 대입 결과의 부호를 한 번 더 확인하세요.
- k = 3은 계산이 가장 깔끔해서 정답처럼 보이는 함정입니다. 세 경우에서 나온 k는 예외 없이 0 < k < 1에 넣어 보고 탈락시키세요. 범위 검증을 건너뛰면 세 개의 k 중 무엇을 골라야 할지 판단할 근거가 사라집니다.
- AB = AC 하나만 세워도 답은 나오지만, 나머지 두 경우가 왜 안 되는지 설명하지 못하면 같은 유형에서 반드시 틀립니다. 세 경우를 다 적고 지우거나, 위 효율 풀이처럼 대소 비교로 지운 근거를 남기세요.
- C(0, −3k)의 y좌표는 음수입니다. 넓이의 높이는 길이이므로 절댓값 3k = 9/4를 쓰세요. −9/4를 그대로 넣으면 넓이가 음수가 되어 기약분수 판정 단계에서 막힙니다.
- AB의 길이는 k − (−3) = 3 + k입니다. 3 − k로 계산하면 AB = 9/4가 되어 넓이가 81/32, 답이 113이 됩니다. x축 위의 두 점 사이 거리는 (오른쪽 점) − (왼쪽 점)임을 그림으로 확인하고 쓰세요.
- 마지막에 구하는 값은 넓이가 아니라 p + q입니다. 넓이 q/p = 135/32에서 분모가 p = 32, 분자가 q = 135이며 두 수는 서로소이므로 답은 167입니다. 135나 32에서 멈추지 마세요.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 28번 시작 지점부터 재생됩니다.
전체 문항을 순서대로 보고 싶다면 고1 전문항 풀이 영상도 있습니다.