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기본 점수 확보
4점
2026년 9월 고1 학력평가 · 수학
기본 점수 확보
4점
2026년 9월 고1 학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 연립이차부등식
- 절댓값 부등식
- 이차부등식의 해
- 정수 해의 개수
- 수직선 비교
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 두 부등식의 해를 각각 구간으로 바꾼 뒤, 겹치는 구간에 정수가 정확히 5개 들어가도록 a를 조절하는 문제입니다. 절댓값 부등식은 a를 중심으로 좌우 2만큼 벌어진 구간이 되고, 이차부등식은 인수분해하면 −a²와 5 사이의 구간이 됩니다. 문자 a가 두 구간의 끝에 동시에 들어 있어서 “어느 쪽이 더 안쪽인가”를 판단해야 교집합이 정해집니다.
26번에 놓인 이유는 계산량이 아니라 구간 끝의 대소 비교에 있습니다. 첫 번째 구간은 a가 무엇이든 정수를 딱 5개 품고 있으므로, 두 번째 구간이 그 5개를 하나도 잘라내지 않아야 합니다. 왼쪽 끝 −a²는 항상 바깥에 있다는 것을 근거를 들어 확인하고, 오른쪽 끝 5가 안으로 파고들지 않도록 a의 범위를 잡는 두 단계가 이 문항의 전부입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 절댓값 부등식을 구간으로
|x − a| ≤ 2 ⇔ a − 2 ≤ x ≤ a + 2
a가 자연수이므로 이 구간의 정수는 a−2, a−1, a, a+1, a+2로 언제나 5개입니다. 이 사실이 문제의 출발점입니다.
|x − a| ≤ 2 ⇔ a − 2 ≤ x ≤ a + 2
a가 자연수이므로 이 구간의 정수는 a−2, a−1, a, a+1, a+2로 언제나 5개입니다. 이 사실이 문제의 출발점입니다.
② 이차부등식은 인수분해부터
x² + (a² − 5)x − 5a² = (x + a²)(x − 5)
곱이 −5a², 합이 a²−5가 되는 두 수는 a²과 −5입니다. 계수가 문자여도 인수분해 방식은 같습니다. 해는 −a² ≤ x ≤ 5입니다.
x² + (a² − 5)x − 5a² = (x + a²)(x − 5)
곱이 −5a², 합이 a²−5가 되는 두 수는 a²과 −5입니다. 계수가 문자여도 인수분해 방식은 같습니다. 해는 −a² ≤ x ≤ 5입니다.
③ 왼쪽 끝은 항상 바깥에 있다
(a − 2) − (−a²) = a² + a − 2 = (a + 2)(a − 1) ≥ 0
자연수 a에 대해 −a² ≤ a−2이므로, 교집합의 왼쪽 끝은 항상 a−2입니다. 이 확인을 건너뛰면 왼쪽 끝을 −a²로 잘못 잡게 됩니다.
(a − 2) − (−a²) = a² + a − 2 = (a + 2)(a − 1) ≥ 0
자연수 a에 대해 −a² ≤ a−2이므로, 교집합의 왼쪽 끝은 항상 a−2입니다. 이 확인을 건너뛰면 왼쪽 끝을 −a²로 잘못 잡게 됩니다.
④ 오른쪽 끝 하나로 조건이 결정된다
정수 5개 ⇔ a + 2 ≤ 5
교집합은 a−2 ≤ x ≤ min(a+2, 5)입니다. 5개를 유지하려면 오른쪽 끝이 a+2 그대로 남아야 하므로 a+2가 5를 넘지 않아야 합니다.
정수 5개 ⇔ a + 2 ≤ 5
교집합은 a−2 ≤ x ≤ min(a+2, 5)입니다. 5개를 유지하려면 오른쪽 끝이 a+2 그대로 남아야 하므로 a+2가 5를 넘지 않아야 합니다.
정답 확인
정답 6 (a = 1, 2, 3)
상세 해설
더 빠른 풀이 · “폭 4인 구간은 정수 5개”로 읽기
부등식을 둘 다 풀고 나서 경우를 나누기보다, 첫 번째 구간이 이미 정수 5개를 갖고 있다는 점을 먼저 활용하면 판단이 한 줄로 끝납니다.
1단계 |x−a| ≤ 2는 a를 중심으로 폭 4인 구간입니다. 자연수 a에서 정수는 정확히 5개이므로, 문제는 “두 번째 구간이 이 5개를 하나도 깎지 않을 조건”으로 바뀝니다.
2단계 두 번째 구간 −a² ≤ x ≤ 5를 수직선에 대략 찍어 보세요. −a²은 a−2보다 왼쪽에 있으므로 신경 쓸 필요가 없고, 오른쪽 끝 5만 a+2와 비교하면 됩니다.
3단계 a+2 ≤ 5에서 a ≤ 3입니다. 자연수 a는 1, 2, 3이고 합은 6입니다. a = 4를 넣어 보면 구간이 2 ≤ x ≤ 5로 정수 4개뿐이라는 것도 10초면 확인됩니다.
“정수 몇 개” 조건은 구간의 폭을 먼저 보는 습관을 들이면, 경우 분류 없이 대부분 끝 하나의 비교로 정리됩니다.
실수를 줄이는 노하우
- 이차부등식의 인수분해에서 부호를 확인하세요. (x − a²)(x + 5)로 쓰면 해가 −5 ≤ x ≤ a²이 되어 완전히 다른 문제가 됩니다. 곱이 −5a²이므로 두 인수의 상수항은 +a²과 −5입니다.
- 교집합의 왼쪽 끝을 −a²으로 잡지 마세요. −a² ≤ a−2를 (a+2)(a−1) ≥ 0으로 한 번 확인해 두면 왼쪽은 더 볼 필요가 없습니다. 이 확인을 빼면 왼쪽에서 정수를 세다가 시간을 다 씁니다.
- a = 4일 때 “5 안에 들어가니까 되겠지”라고 넣으면 답이 10으로 흘러갑니다. a = 4는 교집합이 2 ≤ x ≤ 5로 정수 4개입니다. 경계값은 반드시 직접 세어 보세요.
- a = 1일 때 구간은 −1 ≤ x ≤ 3입니다. 음수가 섞여 있다고 빼면 답이 5가 됩니다. 정수는 음수도 포함하고, 자연수 조건은 a에 붙어 있지 x에 붙어 있지 않습니다.
- 답을 쓰기 전에 문제가 묻는 것이 “a의 개수”가 아니라 “a의 값의 합”인지 다시 읽으세요. 3으로 답하면 끝까지 맞게 풀고도 점수를 잃습니다.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 26번 위치(41분 27초)부터 시작합니다.
전 문항 풀이로 확인하고 싶다면 고1 전문항풀이 영상도 있습니다.