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1등급 갈림길
4점
2026년 9월 고1 학력평가 · 수학
1등급 갈림길
4점
2026년 9월 고1 학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 경우의 수
- 조합
- 합의 법칙과 곱의 법칙
- 조건 해석
- 경우 분류
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 말로 적힌 두 조건을 “공이 2개 들어 있는 상자의 위치”라는 하나의 그림으로 바꾸는 문제입니다. 상자 7개에 공 5개를 넣되 한 상자에 최대 2개이므로, 공이 2개인 상자가 몇 개인지부터 정해져야 조건 (가)와 (나)를 적용할 수 있습니다. 위치가 정해진 뒤에는 어떤 공을 어느 상자에 넣을지 세는 조합 계산이 남습니다.
20번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 조건의 번역에 있습니다. (가)는 “연속한 세 상자를 어디서 잘라도 그 안에 2개짜리 상자가 있다”는 뜻인데, 이것을 상자 번호의 범위로 좁혀 내지 못하면 경우가 쏟아져 나옵니다. 번역만 정확하면 가능한 위치는 세 가지뿐이고, 그 뒤는 30을 곱하는 단순 계산입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 공 개수의 구조부터 확정
5 = 2 + 2 + 1 만 가능
2개짜리 상자가 하나뿐이면 그 상자가 속하는 연속 세 상자 묶음은 최대 3개인데, 조건 (가)가 요구하는 묶음은 (1,2,3)부터 (5,6,7)까지 5개입니다. 하나로는 부족합니다. 세 개면 공이 6개 필요합니다. 따라서 2개짜리 상자가 정확히 둘, 1개짜리 상자가 하나입니다.
5 = 2 + 2 + 1 만 가능
2개짜리 상자가 하나뿐이면 그 상자가 속하는 연속 세 상자 묶음은 최대 3개인데, 조건 (가)가 요구하는 묶음은 (1,2,3)부터 (5,6,7)까지 5개입니다. 하나로는 부족합니다. 세 개면 공이 6개 필요합니다. 따라서 2개짜리 상자가 정확히 둘, 1개짜리 상자가 하나입니다.
② 조건 (가)를 상자 번호의 범위로 번역
왼쪽 2개 상자 ∈ {2, 3}, 오른쪽 2개 상자 ∈ {5, 6}
묶음 (1,2,3)을 책임지려면 왼쪽 상자가 3 이하, 묶음 (5,6,7)을 책임지려면 오른쪽 상자가 5 이상이어야 합니다. 여기에 묶음 (2,3,4)와 (4,5,6)을 더하면 왼쪽은 2 또는 3, 오른쪽은 5 또는 6으로 좁혀집니다.
왼쪽 2개 상자 ∈ {2, 3}, 오른쪽 2개 상자 ∈ {5, 6}
묶음 (1,2,3)을 책임지려면 왼쪽 상자가 3 이하, 묶음 (5,6,7)을 책임지려면 오른쪽 상자가 5 이상이어야 합니다. 여기에 묶음 (2,3,4)와 (4,5,6)을 더하면 왼쪽은 2 또는 3, 오른쪽은 5 또는 6으로 좁혀집니다.
③ 가운데 묶음으로 마지막 걸러내기
(2,5), (3,5), (3,6) 세 가지
후보 네 쌍 중 (2,6)은 묶음 (3,4,5)에 2개짜리 상자가 없어 탈락합니다. 남는 위치는 세 가지뿐이고, 이것이 해설의 (ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)입니다.
(2,5), (3,5), (3,6) 세 가지
후보 네 쌍 중 (2,6)은 묶음 (3,4,5)에 2개짜리 상자가 없어 탈락합니다. 남는 위치는 세 가지뿐이고, 이것이 해설의 (ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)입니다.
④ 공 배분은 조합, 남은 공은 조건 (나)로 위치 제한
₅C₂ × ₃C₂ = 30, 남은 공 1개는 두 상자 사이를 제외한 빈 상자에
상자가 번호로 구별되므로 왼쪽 상자에 넣을 공 2개, 오른쪽 상자에 넣을 공 2개를 차례로 고르면 됩니다. 순서를 고려하지 않는다는 조건이 조합을 쓰라는 신호입니다. 마지막 공은 (나)에 의해 두 2개짜리 상자 사이에는 못 들어가므로, 위치별로 남는 상자 수만 세면 됩니다.
₅C₂ × ₃C₂ = 30, 남은 공 1개는 두 상자 사이를 제외한 빈 상자에
상자가 번호로 구별되므로 왼쪽 상자에 넣을 공 2개, 오른쪽 상자에 넣을 공 2개를 차례로 고르면 됩니다. 순서를 고려하지 않는다는 조건이 조합을 쓰라는 신호입니다. 마지막 공은 (나)에 의해 두 2개짜리 상자 사이에는 못 들어가므로, 위치별로 남는 상자 수만 세면 됩니다.
정답 확인
정답 ③ 300
상세 해설
더 빠른 풀이 · 양 끝 묶음부터 조이기
다섯 개 묶음을 하나씩 확인하는 대신, 조건이 가장 센 양 끝 묶음부터 적용하면 후보가 단숨에 줄어듭니다.
1단계 상자 번호를 1~7로 한 줄에 적고, 2개짜리 상자 두 개의 번호를 (i, j)로 두세요. 묶음 (1,2,3)에서 i ≤ 3, 묶음 (5,6,7)에서 j ≥ 5가 바로 나옵니다.
2단계 묶음 (2,3,4)에는 j가 들어올 수 없으므로 i ≥ 2, 묶음 (4,5,6)에는 i가 들어올 수 없으므로 j ≤ 6입니다. 후보는 (2,5), (2,6), (3,5), (3,6) 네 쌍입니다.
3단계 묶음 (3,4,5)를 확인하면 (2,6)만 걸러집니다. 남은 세 쌍에서 마지막 공이 들어갈 수 있는 상자 수는 “7 − 2 − 사이에 낀 상자 수”이므로 (2,5)는 3, (3,5)는 4, (3,6)은 3입니다. 답은 30 × (3+4+3) = 300입니다.
“연속한 n개 중 적어도 하나” 유형은 항상 맨 왼쪽 묶음과 맨 오른쪽 묶음이 가장 강한 제약입니다. 여기서 범위를 먼저 잡고 가운데 묶음으로 검증하는 순서가 시간을 가장 아낍니다.
실수를 줄이는 노하우
- 후보 (2,6)을 걸러내지 않으면 사이 상자가 3, 4, 5 세 개라 남은 공은 상자 1, 7에만 들어가고 경우가 2 추가됩니다. 30 × (3+4+3+2) = 360이 되어 답이 ⑤로 흘러갑니다. 묶음 (3,4,5)를 반드시 확인하세요.
- 조건 (나)를 잊고 남은 공 1개를 두 2개짜리 상자 사이에도 넣으면 각 경우가 5씩 되어 30 × 15 = 450으로 보기 밖 값이 나옵니다. “사이의 상자는 비어 있다”는 말은 남은 공의 자리를 제한하는 조건입니다.
- 2개짜리 상자가 한 개뿐인 경우(2+1+1+1 등)를 세려고 하지 마세요. ①에서 확인했듯 조건 (가) 자체를 만족할 수 없습니다. 구조 확정을 건너뛰면 존재하지 않는 경우를 세느라 시간을 씁니다.
- 공을 나눠 넣는 30을 ₅C₂ × ₃C₂ × 2로 두 배 하지 마세요. 두 상자는 번호가 다른 서로 다른 상자이므로 “왼쪽 상자용 2개, 오른쪽 상자용 2개”로 고르는 순간 이미 구별이 끝납니다.
- 남은 공이 들어갈 상자 수를 셀 때 이미 2개가 들어 있는 상자를 후보에 넣지 마세요. 한 상자에 2개 이하라는 조건 때문에 그 상자는 꽉 찬 상태입니다.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 20번 시작 지점(25:12)부터 재생됩니다.
1번부터 30번까지 전 문항 풀이는 고1 전문항 풀이 영상에서 확인할 수 있습니다.