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기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고1 학력평가 · 수학
기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고1 학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 여러 가지 방정식
- 연립이차방정식
- 이차식의 인수분해
- 일차식으로 바꿔 대입
- 양수 조건으로 근 선택
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 이차식 두 개로 이루어진 연립방정식을 일차식 하나와 이차식 하나로 바꾸는 문제입니다. 첫 번째 식은 우변이 0이고 좌변이 x, y에 대한 이차식이므로 인수분해가 됩니다. 인수분해가 되는 순간 “x는 y의 몇 배”라는 일차식이 나오고, 이것을 두 번째 식에 넣으면 y만 남는 이차방정식이 됩니다.
25번에 배치된 이유는 근의 선택에 있습니다. 인수분해에서 두 갈래가 나오고, 대입 뒤에도 y가 양수·음수 두 개가 나옵니다. 문제가 α>0, β>0이라고 못 박은 것은 이 네 가지 후보 중 하나만 골라내라는 뜻입니다. 조건을 읽지 않고 아무 근이나 잡으면 계산은 맞아도 답이 틀립니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 우변이 0인 이차식은 인수분해부터
x² − xy − 6y² = (x + 2y)(x − 3y)
x²의 계수가 1이므로 y²의 계수 −6을 “곱해서 −6, 더해서 −1″인 두 수 2와 −3으로 가릅니다. 두 미지수가 있어도 x에 대한 이차식으로 보면 됩니다.
x² − xy − 6y² = (x + 2y)(x − 3y)
x²의 계수가 1이므로 y²의 계수 −6을 “곱해서 −6, 더해서 −1″인 두 수 2와 −3으로 가릅니다. 두 미지수가 있어도 x에 대한 이차식으로 보면 됩니다.
② AB = 0 이면 A = 0 또는 B = 0
x = −2y 또는 x = 3y
인수분해 결과에서 두 개의 일차식이 나옵니다. 둘 다 후보이므로 하나를 버릴 때는 반드시 이유가 있어야 합니다.
x = −2y 또는 x = 3y
인수분해 결과에서 두 개의 일차식이 나옵니다. 둘 다 후보이므로 하나를 버릴 때는 반드시 이유가 있어야 합니다.
③ 양수 조건으로 갈래 정리
x>0, y>0 → x = −2y 는 불가능
y가 양수면 −2y는 음수이므로 x가 양수일 수 없습니다. 대입하기 전에 이 갈래를 먼저 지우면 계산이 절반으로 줄어듭니다.
x>0, y>0 → x = −2y 는 불가능
y가 양수면 −2y는 음수이므로 x가 양수일 수 없습니다. 대입하기 전에 이 갈래를 먼저 지우면 계산이 절반으로 줄어듭니다.
④ 일차식을 이차식에 대입
(3y)² + 3y² = 48 → 12y² = 48
x 자리에 3y를 넣으면 y만 남습니다. y²의 값을 구한 뒤 양수 y를 택하고, 다시 x = 3y로 돌아가 x를 구합니다.
(3y)² + 3y² = 48 → 12y² = 48
x 자리에 3y를 넣으면 y만 남습니다. y²의 값을 구한 뒤 양수 y를 택하고, 다시 x = 3y로 돌아가 x를 구합니다.
정답 확인
정답 12 (α = 6, β = 2)
상세 해설
더 빠른 풀이 · x 대신 y를 남기는 이유
x = 3y 를 얻은 뒤 “y = x/3″으로 바꿔 x만 남기는 학생도 있습니다. 답은 같지만 분수가 생겨 시간이 더 걸립니다. 어느 문자를 남길지 정하는 기준을 알아 두세요.
1단계 일차식을 “계수가 1인 문자 = 나머지” 꼴로 두세요. x = 3y 는 이미 그 꼴이므로 x를 지우고 y를 남기는 쪽이 정수 계산으로 끝납니다.
2단계 대입한 뒤에는 y²만 남으므로 y² = 4 까지만 계산하고, 양수 조건으로 y = 2 를 고릅니다. y = −2 를 적어 두고 지우는 과정은 생략해도 됩니다.
3단계 구하는 것은 α×β = x·y 입니다. x = 3y 이므로 x·y = 3y² 이고, y² = 4 를 바로 넣으면 12 가 나옵니다. x = 6 을 따로 구하지 않아도 됩니다.
3단계처럼 “구하는 값을 y²으로 먼저 표현해 두는” 습관은 단답형에서 한 줄을 통째로 아낍니다. 이 문항에서는 α×β = 3β² 이라는 한 줄이 그 역할을 합니다.
실수를 줄이는 노하우
- 인수분해에서 부호를 반대로 잡아 (x − 2y)(x + 3y)로 쓰면 x = 2y 가 나와 대입 뒤 7y² = 48 이 되고, y가 정수로 떨어지지 않습니다. y²이 예쁘게 안 나오면 인수분해부터 다시 확인하세요. 전개해서 가운데 항이 −xy 인지 보면 10초면 끝납니다.
- x = −2y 갈래를 지우지 않고 대입하면 4y² + 3y² = 48 에서 y² = 48/7 이 됩니다. 계산이 지저분해지는 시점이 곧 “조건을 안 봤다”는 신호입니다. α>0, β>0 을 먼저 읽으세요.
- y² = 4 에서 y = ±2 인데, 양수 조건을 잊고 y = −2 를 잡으면 x = −6 이 되고 곱 α×β 는 그대로 12 가 나옵니다. 이 문항은 운 좋게 답이 같지만, 합이나 차를 물었다면 부호 하나로 답이 갈립니다. 조건은 항상 근을 고르는 단계에서 다시 읽으세요.
- (3y)² 을 3y² 으로 쓰면 3y² + 3y² = 48, y² = 8 이 되어 답이 24 로 흘러갑니다. 괄호 안의 계수도 함께 제곱된다는 것을 손으로 9y² 이라고 적어 두세요.
- 답은 α×β 입니다. α = 6 을 구하고 그대로 6 을 적거나, α+β = 8 로 착각하는 경우가 있습니다. 문제 끝의 “×” 기호를 다시 보고 마무리하세요.
풀이 영상
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주요 문항만 골라 보고 싶다면 고1 주요문제 풀이 영상도 있습니다.