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킬러 문항
4점
2026년 09월 고1 전국연합학력평가 · 수학
킬러 문항
4점
2026년 09월 고1 전국연합학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 경우의 수
- 조합
- 부등식 조건 처리
- 홀짝 판정
- 간격으로 치환하기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 다섯 개의 수를 직접 세는 문제가 아니라, 다섯 수를 간격으로 바꿔 세는 문제입니다. a, b, c, d, e를 하나씩 고르려 하면 9개 중 5개를 뽑는 경우가 순식간에 불어납니다. 그런데 조건 (나)는 b−a와 e−b라는 두 간격만 언급하고, 조건 (다)는 b와 e의 홀짝만 언급합니다. 문제가 언급하지 않은 c와 d는 사실상 자유롭게 끼워 넣는 자리라는 뜻입니다.
29번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 분류의 이중 구조에 있습니다. b−a로 한 번 나누고 그 안에서 e−b로 또 나눠야 하며, 각 칸마다 a가 몇 개인지와 (다)의 홀짝이 통과하는지를 따로 확인해야 합니다. 분류 한 층만 세운 학생이 마지막 합계에서 어긋나도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 조건 (나)를 간격 부등식으로 번역
p = b − a, k = e − b → 2p < k
간격 두 개만 남기면 조건 (나)가 짧은 부등식 하나가 됩니다. p와 k가 정해지는 순간 문제의 절반이 끝납니다.
p = b − a, k = e − b → 2p < k
간격 두 개만 남기면 조건 (나)가 짧은 부등식 하나가 됩니다. p와 k가 정해지는 순간 문제의 절반이 끝납니다.
② p의 범위부터 좁히기
2p < k, e = a + p + k ≤ 9, a ≥ 1
p = 3이면 k ≥ 7이어서 e ≥ 1 + 3 + 7 = 11이 되어 9를 넘습니다. 그래서 p는 1 또는 2, 두 갈래뿐입니다.
2p < k, e = a + p + k ≤ 9, a ≥ 1
p = 3이면 k ≥ 7이어서 e ≥ 1 + 3 + 7 = 11이 되어 9를 넘습니다. 그래서 p는 1 또는 2, 두 갈래뿐입니다.
③ c와 d는 사이 칸에서 고르는 조합
b와 e 사이의 수는 (k − 1)개 → ₙC₂ (n = k − 1)
b < c < d < e이므로 c, d는 크기 순서가 이미 정해져 있습니다. 뽑기만 하면 되므로 순열이 아니라 조합입니다.
b와 e 사이의 수는 (k − 1)개 → ₙC₂ (n = k − 1)
b < c < d < e이므로 c, d는 크기 순서가 이미 정해져 있습니다. 뽑기만 하면 되므로 순열이 아니라 조합입니다.
④ 조건 (다)는 홀짝 한 줄로 끝난다
e = b + k → k가 홀수면 b, e의 홀짝이 다르다
b × e가 짝수라는 말은 b, e 중 적어도 하나가 짝수라는 뜻입니다. k가 홀수면 저절로 만족하고, k가 짝수일 때만 b가 짝수인지 따지면 됩니다.
e = b + k → k가 홀수면 b, e의 홀짝이 다르다
b × e가 짝수라는 말은 b, e 중 적어도 하나가 짝수라는 뜻입니다. k가 홀수면 저절로 만족하고, k가 짝수일 때만 b가 짝수인지 따지면 됩니다.
정답 확인
정답 66
상세 해설
더 빠른 풀이 · 표 한 장에 (p, k)를 모두 채우기
경우를 글로 늘어놓으면 빠뜨리기 쉽습니다. p와 k를 가로세로로 놓은 표를 그려 두고 칸마다 세 가지만 적어 넣으면 분류 누락이 사라집니다.
1단계 가능한 (p, k)를 먼저 확정하세요. 2p < k이고 a + p + k ≤ 9이므로 p = 1일 때 k는 3부터 7까지, p = 2일 때 k는 5와 6뿐입니다. 칸은 모두 일곱 개입니다.
2단계 각 칸에 a의 개수를 적으세요. a는 1부터 9 − p − k까지이므로 개수는 그대로 9 − p − k입니다. 예를 들어 p = 1, k = 5이면 3개입니다.
3단계 같은 칸에 조합 값을 적으세요. c, d는 b와 e 사이 (k − 1)개에서 두 개를 뽑으므로 k = 3부터 차례로 ₂C₂ = 1, ₃C₂ = 3, ₄C₂ = 6, ₅C₂ = 10, ₆C₂ = 15입니다. k만 보면 정해지는 값이라 미리 적어 두면 재활용됩니다.
4단계 마지막으로 홀짝을 걸러내세요. k가 홀수인 칸은 a의 개수를 그대로 쓰고, k가 짝수인 칸은 b = a + p가 짝수인 a만 남깁니다. 칸마다 (남은 a의 개수) × (조합 값)을 곱해 모두 더하면 끝입니다.
이 방식의 이점은 조건 (다)를 마지막에 한 번만 처리한다는 데 있습니다. 처음부터 홀짝을 섞어 분류하면 칸이 두 배로 늘어나지만, 개수를 다 센 뒤 걸러내면 표 하나로 정리됩니다.
실수를 줄이는 노하우
- e − b의 하한을 3으로 잡으세요. b와 e 사이에는 c와 d가 반드시 들어가야 하므로 k = 1, 2는 애초에 불가능합니다. 이걸 놓치면 조합 값이 0인 칸을 붙들고 시간을 씁니다.
- 조건 (나)는 등호가 없는 부등식입니다. 2(b − a) ≤ e − b로 읽으면 p = 2, k = 4인 칸이 살아나 답이 69로 흘러갑니다. 부등호에 밑줄을 긋고 시작하세요.
- b × e가 짝수라는 조건을 “b와 e가 둘 다 짝수”로 읽으면 안 됩니다. 곱이 짝수일 조건은 적어도 하나가 짝수입니다. 둘 다 짝수로 세면 답이 16까지 떨어집니다.
- b − a = 1인 경우의 합 54에서 멈추지 마세요. b − a = 2인 경우가 12를 더 만들어 냅니다. 54로 답을 적는 실수가 이 문항에서 가장 많이 나오는 형태입니다.
- c, d를 뽑을 때 순열을 쓰면 모든 칸이 두 배가 됩니다. b < c < d < e가 순서를 이미 정해 주므로 조합으로 세세요.
- 다 세고 나면 가장 큰 칸 하나만 검산하세요. p = 1, k = 7이면 a = 1, b = 2, e = 9로 값이 하나뿐이고 c, d는 3부터 8까지 여섯 수에서 두 개이므로 15입니다. 이 칸이 맞으면 표 전체의 규칙이 맞은 것입니다.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 29번 시작 지점(55:05)부터 재생됩니다.
전체 문항을 이어서 보고 싶다면 고1 전문항 풀이 영상도 있습니다.