1등급 갈림길
4점
2026년 9월 고1 학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 다항식의 나눗셈
- 나머지의 차수 조건
- 나누어떨어짐
- 실수 계수 인수분해
- 차수 비교
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 “몫이 x, 나머지가 g(x)−2x²+4x”라는 조건 (가)를 f(x) = (g(x)+x²)·x + g(x)−2x²+4x라는 등식으로 옮기고, 그 안에서 g(x)의 정체를 스스로 찾아내는 문제입니다. g(x)의 차수도 계수도 주어지지 않았지만, 나머지는 나누는 식보다 차수가 낮아야 한다는 정의 하나가 g(x)를 최고차항 계수 2인 이차식으로 못 박습니다. 그 뒤 조건 (나)의 나누어떨어짐이 남은 계수를 결정합니다.
27번에 놓인 이유는 나머지의 차수 조건을 직접 논증에 써야 한다는 데 있습니다. 대부분의 학생은 “나머지는 나누는 식보다 차수가 낮다”를 알고는 있지만, 그것으로 미지 다항식의 차수를 결정해 본 경험이 적습니다. 이 한 문장을 쓸 줄 아는지, 그리고 x²−2x+4가 실수 범위에서 더는 인수분해되지 않는다는 것을 알아채는지에서 점수가 갈립니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
f(x) = (g(x) + x²)·x + g(x) − 2x² + 4x
조건 (가)를 A = BQ + R 꼴로 옮기는 것이 첫 줄입니다. 이 등식 안에 g(x)가 두 번 나옵니다.
(g(x) − 2x² + 4x의 차수) < (g(x) + x²의 차수)
g(x)의 차수가 3 이상이면 두 식의 차수가 같아져 모순입니다. 1 이하여도 나누는 식은 2차, 나머지도 2차가 되어 모순입니다. 남는 것은 g(x)가 이차식이고, 나머지에서 x² 항이 사라지도록 최고차항 계수가 2인 경우뿐입니다.
f(x) = g(x)(x + 1) + x(x² − 2x + 4)
①의 등식을 g(x) 기준으로 묶으면 남는 부분이 x³−2x²+4x입니다. f(x)가 g(x)로 나누어떨어지려면 이 남는 부분도 g(x)로 나누어떨어져야 합니다.
x² − 2x + 4 : 판별식 4 − 16 < 0
x(x²−2x+4)의 이차인수 중 g(x)가 될 수 있는 것은 상수배를 제외하면 x²−2x+4 하나뿐입니다. 최고차항 계수가 2이므로 g(x) = 2(x²−2x+4)입니다.
정답 확인
정답 77 (g(x) = 2x² − 4x + 8)
상세 해설
더 빠른 풀이 · f(x)를 전개하지 말고 f(3)만 계산하기
g(x)를 구한 뒤 f(x)를 전개해서 3을 넣으면 4차식 전개에서 실수가 나옵니다. f(x)를 g(x)(x+1) + x(x²−2x+4) 꼴로 둔 채 값만 넣으세요.
구하는 값이 “f(3)”처럼 특정 값 하나일 때는 함수식을 완성하는 것이 아니라, 묶인 형태에 바로 대입하는 것이 가장 짧은 길입니다.
실수를 줄이는 노하우
- g(x)의 최고차항 계수를 1로 가정하면 안 됩니다. g(x) = x²−2x+4로 두면 나머지 g(x)−2x²+4x가 −x²+2x+4로 2차가 되어 조건 (가)에 어긋나고, 답이 49로 흘러갑니다. 나머지의 x² 항이 사라지려면 계수가 2여야 합니다.
- x(x²−2x+4)를 보고 g(x) = 2x(x−k) 꼴을 떠올리지 마세요. x²−2x+4는 판별식이 음수라 실수 범위에서 일차식으로 쪼개지지 않으므로, 이차인수는 x²−2x+4 하나뿐입니다. “계수가 실수”라는 조건이 붙은 이유가 바로 이것입니다.
- f(3)을 구할 때 g(3)(3+1)만 계산하고 뒤의 x(x²−2x+4) 항을 빠뜨리면 56이 됩니다. 등식에 항이 두 개라는 것을 끝까지 유지하세요.
- x²−2x+4에 3을 넣을 때 9−6+4 = 7입니다. 9−6−4 = −1로 부호를 바꾸면 이후 계산이 전부 어긋납니다. 상수항 부호를 한 번 더 확인하세요.
- 답을 쓰기 전에 g(x) = 2x²−4x+8로 조건 (가)를 역검산하세요. g(x)+x² = 3x²−4x+8이고 나머지 g(x)−2x²+4x = 8로 상수이므로 차수 조건이 만족됩니다. 20초면 g(x) 판단의 오류를 잡아냅니다.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 27번 위치(45분 26초)부터 시작합니다.
전 문항 풀이로 확인하고 싶다면 고1 전문항풀이 영상도 있습니다.