2026년 9월 고1 학력평가 수학 23번 문제 해설

23

기본 점수 확보
3점
2026년 9월 고1 전국연합학력평가 · 수학

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 근의 종류에 관한 조건을 부등식 하나로 바꾸는 문제입니다. 방정식을 실제로 풀 필요는 전혀 없고, 판별식의 부호만 정하면 미지수 a에 대한 일차부등식이 남습니다. 근을 구하려고 근의 공식을 세우는 순간 이미 출제자가 설계한 길에서 벗어난 것입니다.

단답형 앞자리에 배치된 이유는 계산량이 아니라 경계 처리에 있습니다. 판별식까지는 대부분 맞히고, 마지막에 부등식의 경계값을 자연수 개수로 옮기는 한 걸음에서 답이 갈립니다. 조건을 세우는 능력과 세는 능력을 따로 평가하는 자리입니다.

① 판별식으로 근의 종류 판정
D > 0 실근 2개 · D = 0 중근 · D < 0 허근 2개
실수 계수 이차방정식의 허근은 항상 켤레 쌍으로 나오므로, 허근이면 두 근은 저절로 서로 다릅니다. 따라서 이 문항의 조건은 부등호 하나로 끝납니다.

② 계수를 정확히 집어내기
D = b² − 4ac
여기서 a, b, c는 이차항·일차항·상수항의 계수입니다. 이 문항은 상수항 안에도 문자 a가 들어 있어 공식의 a와 이름이 겹치므로, 계수를 종이 옆에 따로 적어 두고 대입하세요.

③ 괄호 앞의 −4를 분배
−4 × (상수항) → 두 항 모두에 곱한다
상수항이 괄호 꼴이면 −4를 두 항에 각각 곱해야 합니다. 이 분배를 건너뛰면 부등식의 방향까지 뒤집혀 이후 계산 전체가 어긋납니다.

④ 부등식을 자연수 개수로 옮기기
a < (분수) → 분수를 소수로 바꿔 센다
예를 들어 a < 21/4이면 5.25이므로 자연수 a는 1부터 5까지 5개입니다. 등호가 없으면 경계값은 세지 않고, 0은 자연수가 아니므로 시작은 항상 1입니다.

정답 확인

정답 7

문제를 읽으면서 손이 먼저 움직여야 할 곳은 계수가 아니라 부등호입니다. 순서를 아래처럼 고정해 두면 30초 안에 끝납니다.

1단계 조건을 읽자마자 여백에 D < 0을 씁니다. 근의 종류를 묻는 문장은 전부 판별식의 부호 한 줄로 번역되므로, 방정식은 쳐다보지 않아도 됩니다.

2단계 D를 전개하지 말고 a에 대한 일차식으로 바로 정리합니다. a가 붙은 항과 숫자만 모으면 4a − 31 < 0 꼴이 되고, 남은 일은 a를 넘기는 것뿐입니다.

3단계 31/4을 7.75로 바꿉니다. 경계가 자연수가 아닐 때 a < 7.75를 만족하는 자연수의 개수는 소수점 아래를 버린 값과 같으므로 곧장 7개입니다.

검산도 30초면 됩니다. a = 7이면 D = 28 − 31 = −3으로 음수라 허근이고, a = 8이면 D = 32 − 31 = 1로 양수라 실근입니다. 경계 앞뒤 두 값만 넣어 보면 개수가 하나 어긋나는 실수를 그 자리에서 잡습니다.

31/4 = 7.75를 반올림해 8개로 적는 경우가 가장 많습니다. 부등호에 등호가 없으므로 7.75보다 작은 자연수만 세야 합니다. 경계값은 넘지 못하는 선이라고 생각하세요.
0을 함께 세어 8개가 되는 경로도 흔합니다. 자연수는 1부터 시작합니다. “모든 자연수 a”라는 문구에 밑줄을 긋고 1을 먼저 적어 두세요.
“서로 다른 두 허근“을 “서로 다른 두 실근”으로 읽으면 D > 0이 되어 a의 범위가 위로 열리고, 자연수 개수가 무한해져 답을 낼 수 없게 됩니다. 답이 안 나온다면 이 부분을 먼저 다시 읽으세요.
−4 × (10 − a)에서 뒤 항의 부호를 놓쳐 −40 − 4a로 쓰면 a의 부등호 방향이 반대로 뒤집힙니다. 괄호 앞이 음수일 때는 두 항의 부호를 먼저 바꿔 적고 나서 계산하세요.
(−3)²을 −9로 쓰면 D = 4a − 49가 되어 a < 12.25, 답이 12로 흘러갑니다. 음수의 제곱은 항상 양수이므로 괄호를 지우기 전에 부호부터 확인하세요.