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1등급 갈림길
4점
2026년 9월 고1 학력평가 · 수학
1등급 갈림길
4점
2026년 9월 고1 학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 이차함수
- 이차함수와 직선의 위치 관계
- 판별식과 중근
- 넓이가 같은 두 삼각형
- 빈칸 추론
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 “넓이가 같다”는 도형 조건을 “직선의 기울기”로 바꾸고, “두 점에서 만난다”와 “한 점에서만 만난다”는 위치 관계를 각각 이차방정식의 근으로 번역하는 문제입니다. 세 개의 빈칸이 곧 세 번의 번역 지점이고, 앞 빈칸의 값이 뒤 빈칸의 계산 재료가 되도록 이어져 있습니다. (가)에서 기울기가 틀리면 (나)의 k도, (다)의 a도 연쇄적으로 무너집니다.
19번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 첫 번째 번역에 있습니다. S₁ = S₂를 보고 두 삼각형의 넓이를 좌표로 직접 계산하려 들면 미지수 k, a가 뒤섞여 식이 풀리지 않습니다. 두 삼각형이 변 OP를 공유한다는 사실을 눈으로 읽어 내야 기울기 −1이 한 줄에 나오고, 그 다음부터는 이차함수 단원의 정형 절차입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 밑변을 공유하는 두 삼각형의 넓이가 같다 → 꼭짓점을 이은 선이 밑변과 평행
S₁ = S₂, 공통 밑변 OP → BC ∥ OP
삼각형 OPB와 OPC는 변 OP를 함께 씁니다. 넓이가 같으면 B와 C가 직선 OP에서 같은 거리에 있고, B와 C가 직선 OP의 같은 쪽에 있으므로 BC는 OP와 평행합니다. OP는 직선 y = −x 위에 있으니 직선 BC의 기울기는 −1입니다.
S₁ = S₂, 공통 밑변 OP → BC ∥ OP
삼각형 OPB와 OPC는 변 OP를 함께 씁니다. 넓이가 같으면 B와 C가 직선 OP에서 같은 거리에 있고, B와 C가 직선 OP의 같은 쪽에 있으므로 BC는 OP와 평행합니다. OP는 직선 y = −x 위에 있으니 직선 BC의 기울기는 −1입니다.
② 그래프와 직선이 두 점에서 만난다 → 연립한 방정식의 두 근이 그 교점의 x좌표
k(x−4)(x−a) = −(x−a) 의 두 근 = 0, a
직선 BC는 기울기 −1로 점 B(a, 0)을 지나므로 y = −(x−a)입니다. 이 식과 f(x)를 연립하면 양변에 (x−a)가 공통이므로 인수로 묶는 것이 빠릅니다. 남는 일차식의 근이 0이어야 C(0, f(0))과 맞아떨어집니다.
k(x−4)(x−a) = −(x−a) 의 두 근 = 0, a
직선 BC는 기울기 −1로 점 B(a, 0)을 지나므로 y = −(x−a)입니다. 이 식과 f(x)를 연립하면 양변에 (x−a)가 공통이므로 인수로 묶는 것이 빠릅니다. 남는 일차식의 근이 0이어야 C(0, f(0))과 맞아떨어집니다.
③ 한 점에서만 만난다 → 중근 → 판별식 0
D = 0
직선 y = −x가 곡선과 오직 한 점 P에서 만난다는 것은 접한다는 뜻입니다. 연립한 이차방정식을 정리해 D = 0을 풀되, a > 4 조건으로 근 하나를 버려야 합니다.
D = 0
직선 y = −x가 곡선과 오직 한 점 P에서 만난다는 것은 접한다는 뜻입니다. 연립한 이차방정식을 정리해 D = 0을 풀되, a > 4 조건으로 근 하나를 버려야 합니다.
④ 분수 q로 나누기
(p + r) ÷ q, q가 분수이면 역수를 곱하기
마지막 답은 p, q, r을 각각 (가), (나), (다)의 값 그대로 넣어 계산합니다. q가 1/4처럼 분수이면 나누는 순간 값이 4배로 커집니다. 곱셈으로 착각하면 보기에 없는 값이 나옵니다.
(p + r) ÷ q, q가 분수이면 역수를 곱하기
마지막 답은 p, q, r을 각각 (가), (나), (다)의 값 그대로 넣어 계산합니다. q가 1/4처럼 분수이면 나누는 순간 값이 4배로 커집니다. 곱셈으로 착각하면 보기에 없는 값이 나옵니다.
정답 확인
정답 ① (p+r)/q = 60
상세 해설
더 빠른 풀이 · 기울기로 k를 바로 읽기
(나)의 k를 구할 때 방정식을 세워 인수분해하는 대신, 직선 BC의 기울기를 두 점의 좌표로 직접 쓰면 한 줄로 끝납니다.
1단계 C는 y절편이므로 C(0, f(0))이고, f(0) = k·(−4)·(−a) = 4ak입니다. B(a, 0)과 C(0, 4ak)를 잇는 기울기는 −4ak/a = −4k입니다.
2단계 ①에서 이 기울기가 −1이어야 하므로 −4k = −1, 즉 k = 1/4가 곧바로 나옵니다. (가)와 (나)가 동시에 확정됩니다.
3단계 (다)는 판별식 한 번입니다. (1/4)(x−4)(x−a) = −x의 양변에 4를 곱해 x² − ax + 4a = 0으로 정리한 뒤 D = a² − 16a = 0에서 a > 4인 값을 고르세요. 그 뒤 (p+r)/q에 p = −1, q = 1/4, r = 16을 넣으면 됩니다.
빈칸 문제는 제시된 풀이 순서를 반드시 따라갈 필요가 없습니다. 빈칸의 값만 맞으면 되므로, 자신에게 가장 빠른 길로 값을 구하고 제시된 식에 대입해 확인만 하는 것이 시간 관리에 유리합니다.
실수를 줄이는 노하우
- S₁ = S₂를 보고 두 삼각형의 넓이를 좌표로 계산하려 하면 k와 a가 함께 들어간 식이 되어 풀리지 않습니다. 넓이가 같다는 조건은 공통 밑변 OP를 먼저 찾고 평행으로 바꾸세요.
- (가)의 부호를 +1로 적으면 p = 1이 되어 (1+16)×4 = 68, 답이 ③으로 흘러갑니다. 그림에서 B는 오른쪽 아래, C는 왼쪽 위이므로 BC는 우하향, 기울기는 반드시 음수입니다.
- (1/4)(x−4)(x−a) = −x를 정리할 때 양변에 4를 곱하면 우변은 −4x가 됩니다. 좌변만 4배 하고 우변을 −x로 두면 판별식이 (a+3)² − 16a로 바뀌어 a가 보기와 맞지 않는 값이 나옵니다.
- D = a(a−16) = 0에서 a = 0을 함께 답으로 끌고 가지 마세요. 문제의 조건 a > 4가 근을 하나로 정해 줍니다.
- 마지막 계산 (p+r)/q = 15 ÷ (1/4)는 15 × 4입니다. 15 × (1/4)로 계산하면 3.75가 되어 보기에 없는 값이 나오는데, 이때 당황해 앞 단계를 다시 푸느라 시간을 잃는 학생이 많습니다. 분수로 나누기는 역수 곱하기입니다.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 19번 시작 지점(19:50)부터 재생됩니다.
1번부터 30번까지 전 문항 풀이는 고1 전문항 풀이 영상에서 확인할 수 있습니다.