1등급 갈림길
2026년 9월 고1 전국연합학력평가 · 수학 · 4점
출제의도
이 문항은 삼차방정식에서 눈에 보이는 근 하나를 찾아 인수분해한 뒤, 남은 이차방정식이 실근을 몇 개 주는지 따지는 전형적인 흐름을 묻습니다. 문자 m이 계수에 들어 있어도 절차는 똑같습니다.
4점이 붙은 이유는 마지막 경우 나누기에 있습니다. 서로 다른 실근이 1개라는 조건은 “이차식이 허근을 가질 때”만으로 끝나지 않습니다. 이차식이 중근을 갖되 그 값이 앞에서 구한 근과 같을 때도 전체 실근은 여전히 1개입니다. 이 두 번째 경우를 챙기느냐가 정답과 오답을 가릅니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 것
- x = 2가 m과 무관하게 근입니다
- 좌변에 x = 2를 넣으면 8 − 8(m + 1) + 8(m + 1) − 8 = 0이 되어 m이 무엇이든 0입니다. 상수항 −8의 약수 ±1, ±2, ±4, ±8을 차례로 대입하는 습관이 있으면 금방 찾습니다.
- 인수분해의 결과
- 조립제법으로 나누면 좌변은 (x − 2)(x² − 2mx + 4)로 정리됩니다. 이제 방정식은 x = 2 또는 x² − 2mx + 4 = 0으로 갈라집니다.
- 서로 다른 실근이 1개라는 말의 뜻
- 이미 x = 2라는 실근이 확보되어 있으므로, 이차식이 새로운 실근을 만들지 않아야 합니다. 가능한 경우는 두 가지, 허근을 가질 때와 중근을 갖되 그 값이 2일 때입니다.
- 판별식은 짝수 공식으로
- x² − 2mx + 4 = 0에서 일차항 계수가 −2m이므로 D/4 = m² − 4를 씁니다. 허근 조건은 m² − 4 < 0, 즉 −2 < m < 2입니다.
정답 확인
정답 ② 정수 m의 개수는 4
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에, 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
근 하나를 찾아 인수분해한다
x = 2를 대입하면 m이 들어간 두 항 −8(m + 1)과 +8(m + 1)이 서로 상쇄되어 0이 됩니다. 따라서 좌변은 (x − 2)(x² − 2mx + 4)로 분해되고, 방정식은 x = 2 또는 x² − 2mx + 4 = 0이 됩니다.
이차식이 허근을 가지는 경우를 본다
D/4 = m² − 4 = (m + 2)(m − 2) < 0에서 −2 < m < 2입니다. 이때 실근은 x = 2 하나뿐이므로 조건을 만족합니다. 이 범위의 정수는 −1, 0, 1입니다.
중근을 가지는 경우를 따로 본다
m = 2이면 x² − 4x + 4 = (x − 2)²이 되어 중근이 2입니다. 이미 있는 근과 같은 값이므로 서로 다른 실근은 여전히 x = 2 하나입니다. 반면 m = −2이면 (x + 2)²이 되어 x = −2라는 새 실근이 생기므로 서로 다른 실근이 2개가 되어 조건에 어긋납니다.
범위를 합쳐 정수를 센다
두 경우를 합치면 −2 < m ≤ 2입니다. 이 범위의 정수는 −1, 0, 1, 2로 모두 4개입니다.
더 빠르게 푸는 방법
- 중근의 값은 근과 계수의 관계로 즉시 나옵니다
- x² − 2mx + 4 = 0에서 두 근의 곱은 4입니다. 중근이라면 그 값의 제곱이 4이므로 중근은 2 또는 −2뿐입니다. 두 근의 합이 2m이므로 중근이 2이면 m = 2, 중근이 −2이면 m = −2입니다. 판별식을 풀지 않고도 경계 두 값을 먼저 손에 쥘 수 있습니다.
- 경계에서 등호가 붙는 쪽을 그림으로 기억하세요
- 이 유형은 한쪽 경계만 포함되는 비대칭 답이 자주 나옵니다. 중근이 기존 근과 겹치는 쪽(m = 2)은 포함, 겹치지 않는 쪽(m = −2)은 제외입니다. −2 < m ≤ 2처럼 부등호가 짝이 맞지 않는 모양이 나왔다면 오히려 제대로 푼 신호입니다.
- 10초 검산 루틴
- 경계값을 원래 식에 직접 넣어 보세요. m = 2이면 x³ − 6x² + 12x − 8 = (x − 2)³이라 실근이 2 하나뿐임이 한눈에 보입니다. m = −2이면 x³ + 2x² − 4x − 8 = (x − 2)(x + 2)²이라 실근이 2와 −2로 두 개입니다. 이 두 번의 대입이면 답의 양 끝이 확정됩니다.
실수를 줄이는 노하우
- 중근 경우를 아예 빠뜨리는 실수. 판별식이 음수인 −2 < m < 2만 세면 정수는 −1, 0, 1로 3개, 즉 선지 ①로 그대로 흘러갑니다. 이 문항에서 가장 많이 나오는 오답이므로 “이차식의 중근이 기존 근과 같을 수 있는가”를 반드시 한 번 확인하세요.
- 양쪽 경계를 모두 포함하는 실수. 판별식을 D ≤ 0으로 잡아 m = −2까지 넣으면 −2, −1, 0, 1, 2로 5개, 선지 ③이 됩니다. 중근이 −2일 때는 새 실근이 생긴다는 점을 짚지 않으면 이 함정에 걸립니다.
- 판별식 계산에서 계수를 잘못 잡는 실수. 일차항이 −2mx이므로 D = 4m² − 16, D/4 = m² − 4입니다. 여기서 m² − 16이나 4m² − 4로 잘못 쓰면 범위가 통째로 달라져 개수도 엉뚱해집니다.
- “서로 다른 실근”과 “실근”을 혼동하는 실수. 중근은 실근이 두 개(같은 값이 두 번)지만 서로 다른 실근으로는 하나로 셉니다. 문제 문장의 “서로 다른”에 표시를 하고 시작하세요.
- x = 2를 찾지 못해 시간을 쓰는 실수. 삼차식에 문자가 섞여 있으면 대입할 값을 고르기 어려워 보이지만, 상수항 −8의 약수를 넣어 보면 됩니다. m이 들어간 항끼리 상쇄되는 값이 곧 근이므로 대개 두세 번 안에 나옵니다.
학교 시험에서는 이렇게 나옵니다
내신 변형 예고 — 삼차방정식의 근의 개수 조건은 조건만 바꿔 그대로 재출제됩니다. 아래 형태로 한 번씩 더 풀어 두세요.
- 서로 다른 실근의 개수를 2개 또는 3개로 바꿔 m의 범위를 구하게 하는 문항 (경계 포함 여부가 매번 달라집니다)
- “한 실근과 두 허근을 갖는다”처럼 근의 종류로 조건을 진술한 문항
- 인수분해 과정을 조립제법으로 보이고 판별식 경우 나누기를 근거와 함께 쓰게 하는 서술형 — 중근이 기존 근과 겹치는 경우를 언급하지 않으면 감점입니다
상세 해설
풀이 영상
풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 아래 영상은 16번 문항 위치에서 바로 시작합니다.