1등급 갈림길
2026년 9월 고1 전국연합학력평가 · 수학 · 4점
출제의도
이 문항은 A + B와 2A + B라는 두 덩어리에서 A와 B를 따로 떼어낼 수 있는지, 그리고 AB = O라는 조건을 성분에 대한 연립방정식으로 옮길 수 있는지를 함께 묻습니다. 행렬 단원에서 4점이 붙는 자리는 거의 항상 이 두 가지의 결합입니다.
주의할 점은 AB = O가 A = O 또는 B = O를 뜻하지 않는다는 것입니다. 실수에서는 곱이 0이면 둘 중 하나가 0이지만, 행렬에서는 두 행렬이 모두 영행렬이 아니면서도 곱이 영행렬이 될 수 있습니다. 이 문항은 바로 그 상황을 만들어 놓고 미지수 두 개를 결정하게 합니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 것
- A는 뺄셈 한 번으로 나옵니다
- (2A + B) − (A + B) = A입니다. 두 조건이 A + B와 2A + B로 주어졌다면 큰 쪽에서 작은 쪽을 빼는 것이 첫 수입니다.
- B는 그다음 뺄셈으로 나옵니다
- A를 구한 뒤 (A + B) − A = B로 잇습니다. 새 문자를 만들 필요 없이 이미 구한 A를 그대로 씁니다.
- 행렬의 곱셈은 행 × 열
- 곱한 결과의 (i, j) 성분은 앞 행렬의 i행과 뒤 행렬의 j열을 대응하는 자리끼리 곱해서 더한 값입니다. 2 × 2 행렬이면 네 번 계산하면 끝납니다.
- 영행렬 조건은 성분 네 개의 방정식
- AB = O는 곱한 결과의 네 성분이 모두 0이라는 뜻입니다. 미지수는 a, b 두 개뿐이므로 이 중 서로 다른 두 식만 세우면 답이 나오고, 나머지 식은 검산에 씁니다.
정답 확인
정답 ③ a + b = 16
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에, 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
A를 뺄셈으로 분리한다
A = (2A + B) − (A + B)이므로 대응하는 성분끼리 빼면 1행은 3 − 1 = 2와 5 − 4 = 1, 2행은 b − a와 −2 − (−4) = 2가 됩니다. 즉 A의 성분은 위쪽이 2, 1이고 아래쪽이 b − a, 2입니다.
B를 이어서 구한다
B = (A + B) − A이므로 1행은 1 − 2 = −1과 4 − 1 = 3, 2행은 a − (b − a) = 2a − b와 −4 − 2 = −6이 됩니다. 여기서 2행 1열이 2a − b로 정리되는 과정이 가장 실수가 잦은 자리입니다.
AB의 네 성분을 계산한다
(1, 1) 성분은 2 × (−1) + 1 × (2a − b) = 2a − b − 2, (1, 2) 성분은 2 × 3 + 1 × (−6) = 0, (2, 1) 성분은 (b − a) × (−1) + 2 × (2a − b) = 5a − 3b, (2, 2) 성분은 (b − a) × 3 + 2 × (−6) = 3b − 3a − 12입니다.
0이 되어야 하는 식을 연립한다
(1, 2) 성분은 a, b와 무관하게 이미 0이므로 정보가 없습니다. 남은 세 식 중 2a − b = 2와 3b − 3a = 12, 즉 b − a = 4를 연립하면 a = 6, b = 10입니다. 따라서 a + b = 16입니다.
더 빠르게 푸는 방법
- 계산이 가장 가벼운 두 성분부터 고르세요
- 네 성분을 모두 전개할 필요가 없습니다. (1, 1) 성분에서 2a − b = 2, (2, 2) 성분에서 b − a = 4가 곧바로 나오고, 이 둘을 더하면 a = 6이 즉시 결정됩니다. 계수가 큰 (2, 1) 성분 5a − 3b는 마지막 검산용으로 남겨 두는 편이 빠릅니다.
- (1, 2) 성분이 저절로 0인 이유를 알아 두면 좋습니다
- A의 1행과 B의 2열은 미지수가 하나도 들어 있지 않은 자리라 처음부터 상수만 곱해집니다. 문항을 설계할 때 이런 자리를 하나 만들어 두는 일이 많으므로, 미지수가 없는 성분은 식을 세우기 전에 걸러내는 습관이 시간을 벌어 줍니다.
- 10초 검산 루틴
- a = 6, b = 10을 넣으면 A의 성분은 2, 1, 4, 2이고 B의 성분은 −1, 3, 2, −6입니다. A의 2행이 1행의 2배, B의 2열이 1열의 −3배라 곱이 영행렬이 되는 구조가 눈으로 보입니다. 남겨 둔 (2, 1) 성분 5a − 3b = 30 − 30 = 0도 맞습니다.
실수를 줄이는 노하우
- AB = O에서 A = O 또는 B = O로 넘어가는 실수. 이 문항에서 구한 A와 B는 둘 다 영행렬이 아닙니다. 실수의 성질을 행렬에 그대로 옮기면 이 문제는 아예 풀 수 없게 되므로, 행렬에서는 곱이 영행렬이어도 각각은 영행렬이 아닐 수 있다를 먼저 새기고 시작하세요.
- 뺄셈 방향이 뒤집히는 실수. (A + B) − (2A + B)를 계산하면 A가 아니라 −A가 나옵니다. 성분 부호가 전부 반대가 되어 이후 연립이 어긋나므로, 큰 쪽에서 작은 쪽을 뺀다는 순서를 계산 전에 한 번 적어 두세요.
- B의 2행 1열에서 괄호를 놓치는 실수. a − (b − a)는 2a − b인데 괄호를 풀지 않고 a − b로 쓰면 연립식이 통째로 달라집니다. A의 성분에 이미 뺄셈 꼴이 들어 있을 때는 반드시 괄호를 씌워 옮겨 적으세요.
- AB 대신 BA를 계산하는 실수. 행렬의 곱은 순서를 바꾸면 결과가 달라집니다. 문제가 요구한 것은 AB이므로, 곱셈을 시작하기 전에 앞이 A, 뒤가 B임을 문제 문장에 표시해 두는 것이 안전합니다.
- 연립까지 가 놓고 a + b를 묻는 것을 잊는 실수. a = 6까지 구하고 그대로 답을 고르면 선지에 없어 되돌아오게 됩니다. 구하는 값이 a인지 b인지 a + b인지 문제 마지막 줄에 밑줄을 긋고 계산을 시작하세요.
학교 시험에서는 이렇게 나옵니다
내신 변형 예고 — 행렬 단원은 학교 시험에서 서술형으로 나올 때 조건이 한 겹 더 붙습니다. 같은 뼈대에서 아래 형태를 함께 준비해 두세요.
- A + B와 A − B를 주고 A, B를 각각 구하게 한 뒤 AB와 BA를 모두 계산해 두 결과가 다름을 보이라는 문항
- AB = O가 되도록 하는 미지수를 구한 다음, A와 B가 영행렬이 아님을 근거와 함께 서술하라는 문항
- 같은 조건에서 (A + B)² 와 A² + 2AB + B² 이 일치하지 않는 이유를 설명하게 하는 문항
상세 해설
풀이 영상
풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 아래 영상은 15번 문항 위치에서 바로 시작합니다.
“2026년 9월 고1 학력평가 수학 15번 문제 해설”에 대한 1개의 생각