2026년 9월 고1 학력평가 수학 14번 문제 해설

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1등급 갈림길
4점
2026년 09월 고1 학력평가 · 수학

공통수학1 · 이차방정식과 이차함수
근과 계수의 관계
판별식의 부호
꼭짓점이 직선 위에 있을 조건
곱셈공식의 변형

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 조건 세 개를 미지수 하나로 압축하는 문제입니다. 최고차항의 계수가 1, 꼭짓점이 직선 y = 3x 위, x축과 서로 다른 두 점에서 만남 — 세 조건이 흩어져 보이지만, 앞의 두 개를 합치면 이차함수가 문자 하나짜리 식 하나로 완전히 결정됩니다.

14번에 배치된 이유는 버려야 할 근이 있다는 점에 있습니다. α² + β² = 20에서 나오는 a의 값은 두 개인데, 정답은 하나뿐입니다. 어느 쪽을 버릴지는 “서로 다른 두 점에서 만난다”는 문장, 즉 판별식이 양수라는 조건이 결정합니다. 이 조건을 그림으로만 이해하고 부등식으로 옮겨 적지 않으면 두 답 사이에서 찍게 되는 자리입니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

① 꼭짓점이 직선 위에 있다는 말의 번역
꼭짓점 (a, 3a) → f(x) = (x − a)² + 3a
꼭짓점의 x좌표를 a로 두면, y = 3x 위의 점이므로 y좌표는 자동으로 3a입니다. 최고차항의 계수가 1이라는 조건 덕분에 앞의 계수도 1로 확정됩니다. 미지수가 a 하나로 줄어드는 순간이 이 문항의 출발점입니다.

② 서로 다른 두 실근 → 판별식 > 0
x² − 2ax + a² + 3a = 0, D/4 = a² − (a² + 3a) = −3a > 0 → a < 0
x의 계수가 짝수이므로 D/4를 쓰면 계산이 짧습니다. 여기서 얻은 a < 0이 나중에 두 근 중 하나를 지우는 열쇠가 되므로, 반드시 먼저 적어 두세요.

③ 근과 계수의 관계
α + β = 2a, αβ = a² + 3a
α, β는 f(x) = 0의 두 근입니다. 근을 직접 구하지 않고 합과 곱만으로 처리하는 것이 이 유형의 핵심입니다.

④ 제곱의 합은 곱셈공식으로 변형
α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 4a² − 2(a² + 3a) = 2a² − 6a
이 값이 20이므로 2a² − 6a − 20 = 0, 즉 a² − 3a − 10 = (a − 5)(a + 2) = 0입니다. a = 5 또는 a = −2인데 ②에서 a < 0이므로 a = −2만 남습니다.

정답 확인

정답 ③ f(2) = 10

상세 해설

a = −2이므로 f(x) = (x + 2)² − 6이고, f(2) = 16 − 6 = 10입니다.

더 빠른 풀이 · 두 근의 대칭성으로 판별식까지 한 번에

포물선이 축에 대해 대칭이라는 성질을 쓰면, 근과 계수의 관계를 거치지 않고도 같은 식을 만들 수 있습니다.

1단계 축이 x = a이므로 두 근은 a − t, a + t 꼴로 쓸 수 있습니다(t > 0). 서로 다른 두 점에서 만난다는 조건이 곧 t > 0이므로, 판별식을 따로 세울 필요가 없습니다.

2단계 꼭짓점의 y좌표가 3a이고 (x − a)² = −3a에서 t² = −3a입니다. t² > 0이므로 이 한 줄에서 a < 0이 바로 나옵니다.

3단계 α² + β² = (a − t)² + (a + t)² = 2a² + 2t² = 2a² − 6a = 20. 전개 없이 대칭항이 상쇄되어 같은 방정식에 도달합니다.

이 방식은 두 근의 합·곱을 외우지 못했을 때의 보험이면서, 서술형에서 “왜 a < 0인가”를 t² > 0 한 줄로 설명할 수 있어 근거가 깔끔해집니다. 꼭짓점의 y좌표가 음수라는 사실(그래프가 x축 아래로 내려가야 두 점에서 만남)과 같은 이야기임도 확인해 두세요.

실수를 줄이는 노하우

판별식 조건을 건너뛰고 a = 5를 택하면 f(x) = (x − 5)² + 15가 되어 f(2) = 24입니다. 선지에 없어 되돌아오게 되지만, 처음부터 서로 다른 두 점이라는 문장에 밑줄을 그어 두면 이 왕복을 없앨 수 있습니다.
a = 5는 꼭짓점의 y좌표가 15로 양수입니다. 아래로 볼록한 포물선의 꼭짓점이 x축 위에 있으면 x축과 만나지 않으므로, 그림 한 장만 그려도 즉시 탈락시킬 수 있습니다.
D/4를 쓸 때 −3a > 0에서 부등호 방향을 놓쳐 a > 0으로 적는 실수가 잦습니다. 음수를 나눌 때 부등호가 뒤집힌다는 점을 식 옆에 표시하세요.
α² + β² = (α + β)² − 2αβ에서 2를 빠뜨리면 4a² − a² − 3a = 3a² − 3a = 20이 되어 a가 무리수로 나옵니다. 답이 지저분해지면 이 공식의 계수부터 확인하세요.
구하는 값은 a가 아니라 f(2)입니다. a = −2에서 멈추면 부호를 반대로 처리해 ① 8이나 ② 9로 흘러가기 쉽습니다. f(x) = (x + 2)² − 6에 x = 2를 대입하는 마지막 한 줄까지 반드시 쓰세요.