2026년 9월 고1 학력평가 수학 13번 문제 해설

• 공통수학1 · 이차함수
• 제한된 구간의 최대·최소
• 표준형 변형
• 축과 구간 끝점의 거리
• 양수 조건으로 근 선택

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 구간이 문자로 주어진 이차함수의 최댓값을 다룹니다. 구간이 2−k ≤ x ≤ 5+k처럼 미지수를 품고 있어 겁을 먹기 쉽지만, 실제로 물어보는 것은 하나뿐입니다. 아래로 볼록한 포물선에서 최댓값은 어느 끝점에서 나오는가입니다.

13번에 배치된 이유는 계산이 아니라 판단에 있습니다. 최솟값이라면 축에서, 최댓값이라면 축에서 더 멀리 떨어진 끝점에서 나옵니다. 이 판단을 건너뛰고 두 끝점을 모두 계산하면 시간이 두 배로 들고, 잘못된 끝점을 고르면 k 값 자체가 달라집니다. 또 k가 양수라는 조건은 마지막에 근을 하나 버리라고 미리 깔아 둔 장치입니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

상세 해설

k = 2를 넣으면 f(x) = (x − 3)² − 4이고, f(6) = (6 − 3)² − 4 = 9 − 4 = 5입니다. 구간은 0 ≤ x ≤ 7이 되어 x = 6이 실제로 구간 안에 들어오는지도 확인해 두면 좋습니다.

더 빠른 풀이 · 두 끝점의 중점으로 비교를 없애기

실수를 줄이는 노하우

• 최댓값을 축에서 찾는 실수가 가장 많습니다. 아래로 볼록한 포물선에서 축은 최솟값 자리입니다. f(3) = −2k = 12로 두면 k = −6이 나와 양수 조건과 충돌하는데, 이때 계산을 다시 하지 말고 최대·최소의 위치부터 점검하세요.
• 왼쪽 끝점을 골라 f(2 − k) = (k + 1)² − 2k = k² + 1 = 12로 두면 k = √11이 되어 f(6)이 정수로 떨어지지 않습니다. 답이 선지에 없는 형태로 나오면 끝점 선택이 틀렸다는 신호입니다.
• −2k + 9에서 상수 9를 두 번 쓰는 실수를 조심하세요. (x − 3)²을 만들면서 −9가 이미 나왔으므로 남는 상수는 −2k뿐입니다. 완전제곱 후 상수항을 따로 적어 두는 습관이 안전합니다.
• k = −4를 버리지 않고 대입하면 f(x) = (x − 3)² + 8이 되어 f(6) = 17입니다. 선지에 없으니 곧바로 걸러지지만, 애초에 양수 k에 표시해 두면 검토 시간을 아낄 수 있습니다.
• 마지막에 구하는 것은 k가 아니라 f(6)입니다. k = 2에서 멈추면 답이 ① 4나 ③ 6 쪽으로 흘러가기 쉬우니, 문제가 최종적으로 무엇을 물었는지 한 번 더 읽고 마무리하세요.

풀이 영상

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