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기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고1 전국연합학력평가 · 수학
기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고1 전국연합학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 행렬
- 성분으로 정의된 행렬
- 행렬의 곱셈
- A² = 3A 꼴
- 거듭제곱의 규칙
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
겉보기에는 A⁴까지 구해야 하는 무거운 문제로 보이지만, 실제로는 A²를 한 번만 계산하면 끝나는 문항입니다. A²를 구한 순간 그것이 A의 3배라는 사실이 드러나고, 그 뒤로는 곱셈이 아니라 숫자 계산만 남습니다.
12번 자리에 놓인 이유는 앞부분의 성분 정의를 정확히 읽어내는 힘 때문입니다. (−1)ʲ의 지수가 i가 아니라 j라는 점, 그리고 i ≠ j일 때 성분이 j가 아니라 i라는 점, 이 두 가지만 정확히 읽으면 나머지는 계산입니다. 행렬을 잘못 만들면 이후 모든 과정이 무의미해지므로, 출제자가 확인하려는 것은 사실상 첫 두 줄입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① (−1)ʲ는 열 번호 j만 본다
j = 1 → (−1)¹ = −1, j = 2 → (−1)² = 1
대각선 성분에만 이 항이 붙습니다. a₁₁은 i = j = 1이므로 1 − (−1) = 2, a₂₂는 i = j = 2이므로 2 − 1 = 1입니다.
j = 1 → (−1)¹ = −1, j = 2 → (−1)² = 1
대각선 성분에만 이 항이 붙습니다. a₁₁은 i = j = 1이므로 1 − (−1) = 2, a₂₂는 i = j = 2이므로 2 − 1 = 1입니다.
② i ≠ j인 성분은 행 번호 i 그 자체
a₁₂ = 1, a₂₁ = 2
값이 j가 아니라 i입니다. 1행에 있으면 1, 2행에 있으면 2입니다. 이 규칙 때문에 완성된 행렬은 각 행이 (2, 1)과 (2, 1)로 똑같아집니다.
a₁₂ = 1, a₂₁ = 2
값이 j가 아니라 i입니다. 1행에 있으면 1, 2행에 있으면 2입니다. 이 규칙 때문에 완성된 행렬은 각 행이 (2, 1)과 (2, 1)로 똑같아집니다.
③ A²를 계산하면 A의 3배가 나온다
A² = 3A
두 행이 완전히 같은 행렬이므로 곱셈 결과의 각 성분이 원래 성분의 3배가 됩니다. 이 3이 이후 모든 계산을 지배합니다.
A² = 3A
두 행이 완전히 같은 행렬이므로 곱셈 결과의 각 성분이 원래 성분의 3배가 됩니다. 이 3이 이후 모든 계산을 지배합니다.
④ 그 뒤는 3의 거듭제곱이 이어진다
A³ = 9A, A⁴ = 27A
A³ = A²A = (3A)A = 3A² = 9A, 같은 방식으로 A⁴ = 27A입니다. 행렬 곱셈을 다시 할 필요가 없고, 계수만 3배씩 늘려 가면 됩니다.
A³ = 9A, A⁴ = 27A
A³ = A²A = (3A)A = 3A² = 9A, 같은 방식으로 A⁴ = 27A입니다. 행렬 곱셈을 다시 할 필요가 없고, 계수만 3배씩 늘려 가면 됩니다.
정답 확인
정답 ④ k = 40
상세 해설
더 빠른 풀이 · 두 행이 같으면 A² = (대각합)A
A = [[2, 1], [2, 1]]처럼 두 행이 완전히 같거나 배수 관계인 2차정사각행렬에는 항상 같은 성질이 나타납니다.
1단계 두 행이 같은 행렬 A에 A를 곱하면, 결과의 각 성분은 “원래 성분 × (2 + 1)”이 됩니다. 여기서 2 + 1은 대각선 성분의 합, 즉 A의 대각합입니다. 그래서 A² = 3A가 성립합니다.
2단계 A² = cA를 한 번 확인하면 A³, A⁴은 각각 c²A, c³A입니다. 이 문제에서는 c = 3이므로 계수가 1, 3, 9, 27로 이어집니다. 행렬 곱셈은 딱 한 번만 하면 됩니다.
3단계 마지막은 등비수열의 합입니다. 1 + 3 + 9 + 27 = 40이므로 좌변은 40A가 되고, 40A = kA에서 k = 40입니다. 4개 항이므로 공식을 쓰기보다 직접 더하는 편이 빠르고 안전합니다.
거듭제곱을 묻는 행렬 문항은 대부분 A² = cA 또는 A² = I 형태로 규칙이 걸립니다. A²를 먼저 구해 A와 비교하는 습관을 들이면 A¹⁰이 나와도 같은 자리에서 끝납니다.
실수를 줄이는 노하우
- (−1)ʲ의 지수를 i로 잘못 읽으면 a₂₂가 1이 아니라 3이 되고, 이 행렬은 A² = kA 꼴이 되지 않습니다. 계산이 갑자기 지저분해진다면 성분 정의부터 다시 읽으세요.
- i ≠ j인 성분의 값은 i입니다. j로 읽으면 a₂₁이 1이 되어 두 행이 달라지고 규칙이 깨집니다. 정의식 오른쪽을 손가락으로 짚으면서 옮겨 적으세요.
- 구하는 것은 k이지 행렬의 성분이나 성분의 합이 아닙니다. 40A까지 만들어 놓고 성분 값을 답으로 적지 않도록 마지막에 한 번 더 확인하세요.
- 합에서 A 자신을 빼먹는 실수가 잦습니다. 좌변은 A + A² + A³ + A⁴이므로 계수는 1부터 시작합니다. 3 + 9 + 27 = 39로 끝내면 선지에 없는 값이 나옵니다.
- 선지가 31, 34, 37, 40, 43으로 3씩 벌어져 있어 한 항만 어긋나도 다른 선지에 들어갑니다. “선지에 있으니 맞다”는 검산이 통하지 않으므로, A² = 3A를 성분으로 직접 확인하고 넘어가세요.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 아래는 전 문항을 이어서 푸는 손풀이 영상이므로 12번 위치까지 이동해서 보세요.