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기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고1 전국연합학력평가 · 수학
기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고1 전국연합학력평가 · 수학
- 공통수학2 · 경우의 수
- 합의 법칙
- 주사위 순서쌍
- 배수 조건
- 값 후보 먼저 확정하기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 “분수가 자연수”라는 조건을 2a + b가 5의 배수라는 조건으로 옮긴 뒤, 그 배수가 될 수 있는 값을 범위로 잘라내는 문제입니다. 조건을 그대로 두면 후보가 무한히 많아 보이지만, a와 b가 주사위 눈이라는 사실이 값의 범위를 3부터 18까지로 묶어 줍니다. 후보가 세 개로 줄어드는 순간 문제는 단순한 나열 작업이 됩니다.
10번에 배치된 이유는 범위의 이중 확인입니다. 2a + b의 값 범위를 먼저 확인해 후보를 줄이고, 각 후보 안에서 다시 b가 1 이상 6 이하인지를 확인해야 합니다. 둘 중 뒤쪽 확인을 건너뛴 학생이 정확히 오답 선지 하나로 도착하도록 설계되어 있습니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 자연수 조건을 배수 조건으로 번역
(2a + b)/5 가 자연수 ⇔ 2a + b 가 5의 배수
2a + b는 항상 양수이므로 5의 배수이기만 하면 몫이 자연수입니다. 분자만 보면 됩니다.
(2a + b)/5 가 자연수 ⇔ 2a + b 가 5의 배수
2a + b는 항상 양수이므로 5의 배수이기만 하면 몫이 자연수입니다. 분자만 보면 됩니다.
② 주사위 눈이 값의 범위를 정한다
1 ≤ a ≤ 6, 1 ≤ b ≤ 6 → 3 ≤ 2a + b ≤ 18
최솟값은 a = b = 1일 때 3, 최댓값은 a = b = 6일 때 18입니다. 이 범위 안의 5의 배수는 5, 10, 15 세 개뿐입니다.
1 ≤ a ≤ 6, 1 ≤ b ≤ 6 → 3 ≤ 2a + b ≤ 18
최솟값은 a = b = 1일 때 3, 최댓값은 a = b = 6일 때 18입니다. 이 범위 안의 5의 배수는 5, 10, 15 세 개뿐입니다.
③ 각 후보에서 a를 먼저 고정
b = (후보값) − 2a
a에 1부터 차례로 넣어 b를 계산하고, 그 b가 1 이상 6 이하인지 확인합니다. 벗어나면 그 쌍은 버립니다.
b = (후보값) − 2a
a에 1부터 차례로 넣어 b를 계산하고, 그 b가 1 이상 6 이하인지 확인합니다. 벗어나면 그 쌍은 버립니다.
④ 세 경우는 동시에 일어날 수 없다
합의 법칙 → 각 경우의 개수를 더한다
2a + b가 5이면서 동시에 10일 수는 없으므로 중복 제거 없이 그대로 더하면 됩니다.
합의 법칙 → 각 경우의 개수를 더한다
2a + b가 5이면서 동시에 10일 수는 없으므로 중복 제거 없이 그대로 더하면 됩니다.
정답 확인
정답 ② 순서쌍 (a, b)의 개수 = 7
상세 해설
더 빠른 풀이 · a를 고정하고 b를 하나씩 찾기
후보값 세 개를 각각 나열하는 대신, a를 1부터 6까지 훑으면서 짝이 되는 b를 찾는 방법이 있습니다. 경우를 나누지 않으므로 후보값을 빠뜨릴 위험이 없습니다.
1단계 a를 하나 고정하면 2a는 정해진 수입니다. 그러면 b는 5의 배수에서 2a를 뺀 값, 즉 5로 나눈 나머지가 정해진 수가 됩니다. a마다 b의 나머지 조건 하나만 적어 두세요.
2단계 b는 1부터 6까지입니다. 이 여섯 개 중 특정 나머지를 갖는 수는 보통 한 개인데, 나머지가 1인 경우만 b = 1과 b = 6 두 개입니다. 따라서 대부분의 a에서 b는 딱 하나씩 나옵니다.
3단계 a = 1, 3, 4, 5, 6에서 각각 1개, a = 2에서만 2개가 나옵니다. 5 × 1 + 2 = 7이 되어 순서쌍은 모두 7개입니다.
이 방식은 b의 범위를 처음부터 1~6으로 놓고 세기 때문에 범위를 벗어난 쌍이 애초에 끼어들지 않습니다. 주사위 두 개로 배수 조건을 묻는 문항에서는 이 훑기가 가장 안전합니다.
실수를 줄이는 노하우
- 2a + b의 최솟값은 0이 아니라 3입니다. 0을 5의 배수 후보에 넣으면 존재하지 않는 경우를 세게 되고, 20을 넣으면 최댓값 18을 넘어 헛수고가 됩니다. 범위부터 적어 두고 후보를 고르세요.
- 2a + b = 10에서 a = 1이면 b = 8, a = 5면 b = 0입니다. 둘 다 주사위 눈이 아니므로 버려야 합니다. b의 범위 확인을 건너뛰면 이런 쌍이 섞여 개수가 9가 되고 ③으로 흘러갑니다. b를 구한 뒤 1 ≤ b ≤ 6을 반드시 눈으로 확인하세요.
- 계수가 붙은 쪽은 a입니다. 2a + b = 5에서 a는 1과 2까지만 가능하고, 2a + b = 15에서 a는 5와 6만 가능합니다. a의 상한을 먼저 계산해 두면 헛된 대입이 사라집니다.
- (a, b)는 순서쌍이므로 첫 번째 던진 눈과 두 번째 던진 눈을 구별합니다. (2, 1)과 (1, 2)는 다른 경우이고, 애초에 2a + b에서 a와 b의 역할이 다르므로 대칭이라 생각해 절반으로 나누면 안 됩니다.
- 세 경우는 서로 겹치지 않으므로 곱하지 말고 더합니다. 2 × 3 × 2 = 12처럼 곱의 법칙을 쓰면 선지에도 없는 값이 나옵니다. “또는”으로 이어지면 덧셈입니다.
풀이 영상
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