중고등수학개념사전

공통접선 알아보기 개념 133 – 공통접선 두 원에 동시에 접하는 직선을 공통접선이라고 해요. 이때 두 원이 공통접선에 대하여 같은 쪽에 있으면 그 접선을 공통외접선이라고 하고, 서로 반대쪽에 있으면 그 접선을 공통내접선이라고 한답니다. 두 원의 위치 관계에 따른 공통접선 개수는 다음과 같아요. 한 원이 다른 원의 외부에 있을 때 두 원이 외접할 때 두 원이 서로 … Read more

공통접선의 길이 알아보기 개념 134 – 공통접선의 길이 두 원의 공통접선의 두 접점 사이의 거리를 공통접선의 길이라고 해요. 두 원 \(O,\;O’\)의 반지름의 길이가 각각 \(r,\; r’\;(r > r’)\)이고 중심 사이의 거리가 \(d\)일 때, 공통외접선과 공통내접선의 길이는 다음과 같이 구할 수 있답니다. (1) 공통외접선의 길이 \[\text{AB}=\sqrt{d^2-(r-r’)^2}\] (2) 공통내접선의 길이 \[\text{CD}=\sqrt{d^2-(r+r’)^2}\] (1) 공통외접선의 길이 설명하기 오른쪽 그림처럼 … Read more

점의 평행이동 알아보기 개념 135 – 점의 평행이동 📌 평행이동이란? 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 이동하는 것을 평행이동이라고 해요. 📌 점의 평행이동 좌표평면 위의 점 \(P(x,y)\)를 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(b\)만큼 평행이동한 점 \(P'(x+a,y+b)\)라고 표현할 수 있어요. 이 평행이동을 식으로 나타내면 아래와 같답니다. \[(x,y) \longrightarrow (x+a,y+b)\] ※ 주의할점: \(x\)축 방향으로 \(a\)만큼 이동할 때 \(a>0\)이면 … Read more

도형의 평행이동 알아보기 개념 136 – 도형의 평행이동 📌 도형의 방정식 \(f(x,y)=0\) 좌표평면 위에서 도형을 나타내는 일반적인 식을 \(f(x,y)=0\)이라고 나타낼 수 있어요. 이때, 도형을 \(x\)축 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(b\)만큼 평행이동한 도형의 방정식은 이렇게 나타나요. \[f(x – a,y – b)=0\] 즉, \(x\) 대신 \(x – a\), \(y\) 대신 \(y – b\)를 대입하면 된답니다. ※ 주의할점: … Read more

점의 대칭이동 알아보기 개념 137 – 점의 대칭이동 📌 대칭이동이란? 도형을 직선에 대하여 대칭인 도형으로 옮기는 것을 대칭이동이라고 해요. 주의할점: 대칭이동을 할 때는 주어진 점이 직선 위에 있으면 선대칭이동, 직선 밖에 있으면 절대칭이동이라고 해요. 주어진 직선을 대칭축, 주어진 점을 대칭의 중심이라고 부른답니다. 📌 점의 대칭이동 종류 ① \(x\)축에 대한 대칭이동 ② \(y\)축에 대한 대칭이동 ③ … Read more

원의 방정식의 일반형 개념 122 원의 방정식의 일반형 \(x, y\)에 대한 이차방정식 \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\;(A^2+B^2-4C>0)\)은 중심의 좌표가 \(\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)\), 반지름의 길이가 \(\frac{\sqrt{A^2+B^2-4C}}{2}\) 인 원을 나타내요. 주의할점: \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\;(A,B,C\text{는 실수})\) 꼴의 방정식을 원의 방정식의 일반형이라고 합니다. 개념살펴보기 (ⅰ) 원의 방정식 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)의 좌변을 정리하면 \[x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\] 여기서 \(-2a=A,\quad -2b=B,\quad a^2+b^2-r^2=C\)라 하면 \[x^2+y^2+Ax+By+C=0\] 꼴로 나타낼 수 있어요. 즉, 원의 방정식은 \(x^2\)의 계수와 … Read more

도형의 대칭이동 알아보기 개념 138 – 도형의 대칭이동 📌 도형의 대칭이동 도형의 방정식 \(f(x,y)=0\)이 나타내는 도형을 \(x\)축, \(y\)축, 원점 및 직선 \(y=x\)에 대하여 각각 대칭이동한 도형의 방정식은 아래와 같아요. (1) \(x\)축 대칭이동 (2) \(y\)축 대칭이동 \[f(x,-y)=0\](\(y\) 대신 \(-y\)를 대입) \[f(-x,y)=0\](\(x\) 대신 \(-x\)를 대입) (3) 원점 대칭이동 (4) 직선 \(y=x\) 대칭이동 \[f(-x,-y)=0\](\(x,y\) 모두 부호를 바꿈) \[f(y,x)=0\](\(x,y\) … Read more

좌표축에 접하는 원의 방정식 개념 123 좌표축에 접하는 원의 방정식 좌표축에 접하는 원의 방정식은 중심의 좌표와 반지름 길이 사이의 관계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있어요. (1) \(x\)축에 접하는 원의 방정식 중심이 \((a,b)\)인 원이 \(x\)축에 접하면 \[(\text{반지름의 길이})=|b|\] 이므로 원의 방정식은 \[(x-a)^2+(y-b)^2=b^2\] (2) \(y\)축에 접하는 원의 방정식 중심이 \((a,b)\)인 원이 \(y\)축에 접하면 \[(\text{반지름의 길이})=|a|\] 이므로 … Read more

점에 대한 대칭이동 알아보기 개념 139 – 점에 대한 대칭이동 📌 점에 대한 대칭이동의 개념 평면 위의 점이나 도형을 한 점에 대해 대칭이동하는 방법을 배워볼까요? 점 \(P(x,y)\)를 점 \(A(a,b)\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(P'(x’,y’)\)이라 하면 점 \(A\)에서 두 점 \(P, P’\)에 이르는 거리가 서로 같으므로 점 \(A\)는 선분 \(PP’\)의 중점이 되어요. 따라서 좌표는 아래처럼 표현돼요. \[a=\frac{x+x’}{2}, … Read more

원과 직선의 위치 관계 – 판별식 이용 개념 124 원과 직선의 위치 관계 – 판별식 이용 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식 \(D\)를 이용하여 원과 직선의 위치 관계를 판별할 수 있어요. ① \(D>0\): 서로 다른 두 점에서 만나요. ② \(D=0\): 한 점에서 만나요. (접해요) ③ \(D0\): 서로 다른 두 점에서 만나요. (교점이 두 … Read more