개념 133 – 공통접선
두 원에 동시에 접하는 직선을 공통접선이라고 해요. 이때 두 원이 공통접선에 대하여 같은 쪽에 있으면 그 접선을 공통외접선이라고 하고, 서로 반대쪽에 있으면 그 접선을 공통내접선이라고 한답니다.
두 원의 위치 관계에 따른 공통접선 개수는 다음과 같아요.
| 한 원이 다른 원의 외부에 있을 때 | 두 원이 외접할 때 | 두 원이 서로 다른 두 점에서 만날 때 |
| 공통외접선: 2개 공통내접선: 2개 |
공통외접선: 2개 공통내접선: 1개 |
공통외접선: 2개 공통내접선: 0개 |
| 두 원이 내접할 때 | 한 원이 다른 원의 내부에 있을 때 | 두 원의 중심이 같을 때 |
| 공통외접선: 1개 공통내접선: 0개 |
공통접선: 0개 | 공통접선: 0개 |
따라서 두 원의 공통접선의 개수에 따른 두 원의 위치 관계는 이렇게 정리할 수 있어요.
- 공통접선이 \(4\)개 ⟺ 한 원이 다른 원의 외부에 있어요.
- 공통접선이 \(3\)개 ⟺ 두 원이 외접해요.
- 공통접선이 \(2\)개 ⟺ 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나요.
- 공통접선이 \(1\)개 ⟺ 두 원이 내접해요.
- 공통접선이 \(0\)개 ⟺ 한 원이 다른 원의 내부에 있어요. (동심원 포함)
개념확인문제
두 원 \( x^2 + y^2 = 1 \), \( (x – 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 \)의 공통외접선과 공통내접선의 개수를 구해볼까요?
풀이
두 원의 중심의 좌표가 각각 \((0, 0)\), \((3, -4)\)이므로 중심 사이의 거리는
\[ \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \]두 원의 반지름의 길이가 각각 \(1\), \(4\)이고 \(1 + 4 = 5\)이므로 두 원은 외접하는 위치에 있어요.
따라서 공통외접선은 \(2\)개, 공통내접선은 \(1\)개가 됩니다.
✅ 정답: 공통외접선 \(2\)개, 공통내접선 \(1\)개
주의할점
두 원의 중심 간 거리와 반지름의 합 또는 차를 잘 계산해야 정확한 답을 얻을 수 있어요. 계산 실수에 주의하세요!