일대일 함수
함수 \( f: X \to Y \)에서 정의역 \( X \)의 서로 다른 두 원소에 대응하는 공역의 원소가 항상 서로 다를 때, 이 함수를 일대일 함수라고 해요.
즉, 정의역의 두 원소 \( x_1, x_2 \)에 대해 \( x_1 \neq x_2 \)이면 \( f(x_1) \neq f(x_2) \)가 성립해요.
일대일 함수 조건:
\[
x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)
\]
또는
\[
f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2
\]
일대일 함수의 그래프 특징
- 일대일 함수의 그래프는 치역의 임의의 원소 \( b \)에 대해 수평선 \( y = b \)과 한 점에서만 만나요.
- 수평선 검사를 통해 일대일 함수 여부를 확인할 수 있어요.
개념 이해 예시
다음 두 함수가 일대일 함수인지 확인해 봅시다.
예시 1: 함수 \( f \)의 대응 관계:
- \( 1 \mapsto a, 2 \mapsto a, 3 \mapsto b \)
- 정의역의 서로 다른 두 원소(1, 2)가 동일한 공역의 원소 \( a \)로 대응되므로 일대일 함수가 아니에요.
예시 2: 함수 \( g \)의 대응 관계:
- \( 1 \mapsto a, 2 \mapsto c, 3 \mapsto b \)
- 정의역의 서로 다른 두 원소가 모두 다른 공역의 원소로 대응되므로 \( g \)는 일대일 함수입니다.
정리
- 일대일 함수는 한 \( y \)값에 대해 하나의 \( x \)값만 대응합니다.
- 수평선 검사를 통해 확인 가능하며, 두 원소가 같은 이미지를 가질 수 없습니다.
- 그래프 상에서 어떤 수평선도 두 점 이상에서 교차하지 않습니다.
일대일 함수의 그래프 특징
함수의 그래프를 통해 일대일 함수 여부를 판별할 수 있어요.
일대일 함수의 그래프 조건
- 함수 \( y = x \)의 그래프는 임의의 수평선 \( y = b \)와 한 점에서만 만나므로 일대일 함수입니다.
- 함수 \( y = x^2 \)의 그래프는 임의의 수평선 \( y = b \)와 두 점에서 만나는 경우가 있으므로 일대일 함수가 아니에요.
정리:
일대일 함수의 그래프는 수평선 \( y = b \)과 항상 한 점에서만 만납니다.
두 점 이상에서 교차하면 일대일 함수가 아니에요.
개념 확인 문제 1
다음 함수 중 일대일 함수를 모두 찾아보세요.
- \( f: X \to Y \) 에서 \( 1 \mapsto a, 2 \mapsto a, 3 \mapsto b \)
- \( g: X \to Y \) 에서 \( 1 \mapsto a, 2 \mapsto b, 3 \mapsto c \)
- \( h: X \to Y \) 에서 \( 1 \mapsto a, 2 \mapsto c, 3 \mapsto d \)
풀이:
- (1)은 서로 다른 두 원소가 같은 값으로 대응되므로 일대일 함수가 아닙니다.
- (2), (3)은 서로 다른 원소들이 서로 다른 값으로 대응되므로 일대일 함수입니다.
정답: (2), (3)
개념 확인 문제 2
다음 함수의 그래프 중 일대일 함수의 그래프를 모두 고르세요.
- 그래프 (1): 수평선과 두 점에서 만나는 형태
- 그래프 (2): 모든 수평선과 한 점에서만 만나는 형태
- 그래프 (3): 마찬가지로 한 점에서만 만나는 형태
풀이:
수평선 검사를 통해 한 점에서만 만나는 그래프는 (2), (3)입니다.
정답: (2), (3)