개념 120 좌표평면 위의 삼각형의 넓이
점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하면 좌표평면 위에 세 꼭짓점이 주어진 삼각형의 넓이를 구할 수 있어요.
좌표평면 위에 세 점 \(O(0,0)\), \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(OAB\)에서
\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]
직선 \(AB\)의 방정식은
\[y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\]
이므로 이를 정리하면
\[(y_2-y_1)x-(x_2-x_1)y-(x_1y_2-x_2y_1)=0\]
한편 원점 \(O\)에서 직선 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하면 삼각형 \(OAB\)의 높이는 \(\overline{OH}\)이고, 원점 \(O\)와 직선 \(AB\) 사이의 거리이므로
\[OH=\frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}}\]
따라서 삼각형 \(OAB\)의 넓이 \(S\)는 다음과 같아요.
\[S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot OH=\frac{1}{2}|x_1y_2 – x_2y_1|
\]
주의할점: 절댓값으로 표시하므로, 두 점의 순서가 바뀌어도 넓이는 동일하게 나와요.
개념확인문제
원점 \(O\)와 두 점 \(A(2,-3)\), \(B(5,2)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(OAB\)의 넓이를 구해보세요.
풀이
위의 공식을 이용하면 삼각형 \(OAB\)의 넓이는 간단히 구할 수 있어요.
\[\triangle OAB=\frac{1}{2}|2\cdot2 – 5\cdot(-3)|=\frac{1}{2}|4+15|=\frac{19}{2}\]
정답: \(\frac{19}{2}\)