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고등수학개념사전 111 x절편과 y절편이 주어진 직선의 방정식

두 점을 지나는 직선의 방정식

개념 110: 두 점을 지나는 직선의 방정식

직선이 지나가는 두 점의 좌표가 주어지면, 직선의 방정식은 다음과 같아요!

서로 다른 두 점 \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \)를 지나는 직선의 방정식:

  • (i) \( x_1 \neq x_2 \)일 때, \[ y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} (x – x_1) \]
  • (ii) \( x_1 = x_2 \)일 때, \( x = x_1 \)

개념 살펴보기

한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식을 이용하면, 두 점 \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \)를 지나는 직선의 방정식을 쉽게 구할 수 있어요!

방법 1

\( x_1 \neq x_2 \)일 때, 직선 AB의 기울기를 \( m \)이라고 하면

\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]

이 직선이 점 \( A(x_1, y_1) \)을 지나므로

\[ y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} (x – x_1) \]

점 \( B(x_2, y_2) \)를 이용해도 동일한 결과가 나와요!

방법 2

\( x_1 = x_2 \)일 때, 직선 AB는 \( y \)-축에 평행해요. 따라서 모든 점의 \( x \)-좌표가 \( x_1 \)이므로

\[ x = x_1 \]

개념 확인 문제

다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구해 보세요!

  1. \( (1, 3), (-1, 7) \)을 지나는 직선
  2. \( (3, -2), (-2, 2) \)을 지나는 직선
  3. \( (-2, 3), (-2, 8) \)을 지나는 직선

풀이

(1) \( y – 3 = \frac{7-3}{-1-1} (x-1) \) 이므로,

\[ y = -2x + 5 \]

(2) \( y – (-2) = \frac{2 – (-2)}{-2 – 3} (x – 3) \) 이므로,

\[ y = -\frac{4}{5}x + \frac{2}{5} \]

(3) 두 점이 같은 \( x \)-좌표를 가지므로, 수직선의 방정식

\[ x = -2 \]

정답: (1) \( y = -2x + 5 \), (2) \( y = -\frac{4}{5}x + \frac{2}{5} \), (3) \( x = -2 \)

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