개념 110: 두 점을 지나는 직선의 방정식
직선이 지나가는 두 점의 좌표가 주어지면, 직선의 방정식은 다음과 같아요!
서로 다른 두 점 \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \)를 지나는 직선의 방정식:
- (i) \( x_1 \neq x_2 \)일 때, \[ y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} (x – x_1) \]
- (ii) \( x_1 = x_2 \)일 때, \( x = x_1 \)
개념 살펴보기
한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식을 이용하면, 두 점 \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \)를 지나는 직선의 방정식을 쉽게 구할 수 있어요!
방법 1
\( x_1 \neq x_2 \)일 때, 직선 AB의 기울기를 \( m \)이라고 하면
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
이 직선이 점 \( A(x_1, y_1) \)을 지나므로
\[ y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} (x – x_1) \]
점 \( B(x_2, y_2) \)를 이용해도 동일한 결과가 나와요!
방법 2
\( x_1 = x_2 \)일 때, 직선 AB는 \( y \)-축에 평행해요. 따라서 모든 점의 \( x \)-좌표가 \( x_1 \)이므로
\[ x = x_1 \]
개념 확인 문제
다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구해 보세요!
- \( (1, 3), (-1, 7) \)을 지나는 직선
- \( (3, -2), (-2, 2) \)을 지나는 직선
- \( (-2, 3), (-2, 8) \)을 지나는 직선
풀이
(1) \( y – 3 = \frac{7-3}{-1-1} (x-1) \) 이므로,
\[ y = -2x + 5 \]
(2) \( y – (-2) = \frac{2 – (-2)}{-2 – 3} (x – 3) \) 이므로,
\[ y = -\frac{4}{5}x + \frac{2}{5} \]
(3) 두 점이 같은 \( x \)-좌표를 가지므로, 수직선의 방정식
\[ x = -2 \]
정답: (1) \( y = -2x + 5 \), (2) \( y = -\frac{4}{5}x + \frac{2}{5} \), (3) \( x = -2 \)