고등수학개념사전 078 공통근

두 개 이상의 방정식을 동시에 만족시키는 미지수의 값을 공통근이라 한다.

두 방정식 \( f(x) = 0 \), \( g(x) = 0 \)의 공통근 \( x = a \)를 구하는 방법:

1. 인수분해 이용: 두 방정식을 각각 인수분해하여 공통근을 찾는다.
2. 최고차항 또는 상수항 소거:
   • 두 방정식의 공통근을 \( a \)라 하고 \( x = a \)를 주어진 방정식에 대입한다.
   • \( a \)에 대한 두 방정식을 연립하여 최고차항 또는 상수항을 소거한다.
   • 얻어진 방정식의 해 중에서 공통근을 선택한다.

방법 1: 인수분해 이용

첫 번째 방정식:

\[ x^2 – x – 2 = (x + 1)(x – 2) = 0 \] 따라서, \( x = -1 \) 또는 \( x = 2 \)

두 번째 방정식:

\[ x^2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) = 0 \] 따라서, \( x = -3 \) 또는 \( x = 2 \)

공통근은 \( x = 2 \)이다.

방법 2: 최고차항 소거

\( x = a \)가 공통근이라 하면:

\[ a^2 – a – 2 = 0 \] \[ a^2 + a – 6 = 0 \]

위 두 식을 빼면:

\[ (-a – 2) – (a – 6) = 0 \] \[ -a – 2 – a + 6 = 0 \] \[ -2a + 4 = 0 \] \[ a = 2 \]

따라서 공통근은 \( x = 2 \)이다.