고등수학개념사전 077 대칭식으로 이루어진 연립방정식

연립방정식을 이루는 방정식이 모두 \(x, y\)에 대한 대칭식인 경우에는 다음과 같은 순서로 풀이합니다.

1. \( x + y = u \), \( xy = v \)로 놓고 주어진 연립방정식을 \( u, v \)에 대한 연립방정식으로 변형한다.
2. 이제 만든 연립방정식을 풀어 \( u, v \)의 값을 구한다.
3. \( x, y \)는 이차방정식 \( t^2 – ut + v = 0 \)의 두 근이므로, 이를 이용하여 \( x, y \) 값을 구한다.

\( x^2 + y^2 \)를 변형하여 다음과 같이 나타냅니다.

\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy \]

따라서 주어진 식을 변형하면:

\[ u^2 – 2v = 3 \] \[ u + v = 0 \]

이를 연립하면:

\[ u^2 – 2(-u) = 3 \] \[ u^2 + 2u = 3 \]

즉, \( u^2 + 2u – 3 = 0 \)을 풀이하면:

\[ (u + 3)(u – 1) = 0 \]

따라서 \( u = -3 \) 또는 \( u = 1 \) 입니다.

또한 \( v = -u \) 이므로 \( v = 3 \) 또는 \( v = -1 \) 입니다.

이제 \( x, y \)의 값은 다음 이차방정식의 근이 됩니다.

\[ t^2 – ut + v = 0 \]

첫 번째 경우: \( u = -3, v = 3 \)이면:

\[ t^2 + 3t + 3 = 0 \]

두 번째 경우: \( u = 1, v = -1 \)이면:

\[ t^2 – t – 1 = 0 \]

따라서 각각 근의 공식으로 \( x, y \) 값을 구하면:

• 첫 번째 경우의 근: 복소수 근이므로 생략
• 두 번째 경우의 근: \( x, y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)