개념 116 정점을 지나는 직선
두 직선 \(ax+by+c=0,\quad a’x+b’y+c’=0\)이 한 점에서 만날 때, 방정식
\[(ax+by+c)+k(a’x+b’y+c’)=0\]의 그래프는 실수 \(k\)의 값에 관계없이 두 직선
\[ax+by+c=0,\quad a’x+b’y+c’=0\]의 교점을 지나는 직선이에요.
주의할점: 일반적으로 두 방정식 \(f(x,y)=0,\quad g(x,y)=0\)의 그래프가 만날 때, 방정식 \(f(x,y)+k\cdot g(x,y)=0\)의 그래프는 실수 \(k\) 값에 관계없이 두 그래프 \(f(x,y)=0,\quad g(x,y)=0\)의 교점을 지나게 돼요.
개념살펴보기
직선의 방정식 일차항에 미정계수가 있으면 특별한 직선들이 나타나요. 예를 들어 직선
\[(2+k)x+(2-k)y+3k=0\]을 살펴볼게요. 이 식을 \(k\)에 대해 정리하면
\[(x+y)+k(x-y+3)=0\]이에요.
(ⅰ) \(x=0, y=0\)에 대한 일차방정식이라서 직선을 나타내요.
(ⅱ) 직선 \(x+y=0\)과 직선 \(x-y+3=0\)의 교점의 좌표를 \((p,q)\)라 하면
\[p+q=0,\quad p-q+3=0\]이에요.
그래서 \(k\)의 값에 관계없이 다음이 성립해요.
\[(p+q)+k(p-q+3)=0\]
즉, 직선 \(①\)은 \(k\) 값과 상관없이 항상 점 \((p,q)\)를 지나게 됩니다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 \(k\)와 관계없이 두 직선 \(x+y=0,\quad x-y+3=0\)의 교점을 지나는 직선들을 나타내요.
주의할점: \((x+y)+k(x+y+1)=0\)처럼 두 직선 \(x+y=0,\quad x+y+1=0\)이 서로 평행할 때는 이 직선이 두 직선의 교점을 지나지 않아요. 그러므로 개념 116은 두 직선이 한 점에서 만날 때만 적용돼요. 참고로 \((x+y)+k(x+y+1)=0\)은 직선 \(x+y=0\) 또는 \(x+y+1=0\)에 평행한 직선들을 나타냅니다.
개념확인문제
직선 \(x+3ky+4-5k=0\)이 실수 \(k\)의 값에 관계없이 항상 지나는 점의 좌표를 구해볼게요.
풀이
주어진 식을 \(k\)에 대하여 정리하면
\[(3y-5)k+(x+4)=0\]이에요.
이 식이 \(k\)의 값에 상관없이 항상 성립하려면 \[3y-5=0,\quad x+4=0\]
따라서 \(x=-4,\quad y=\frac{5}{3}\)이에요.
따라서 구하는 점의 좌표는 \((-4,\frac{5}{3})\)입니다.
정답: \((-4,\frac{5}{3})\)