고등수학개념사전 136도형의 평행이동

📌 도형의 방정식 \(f(x,y)=0\)

좌표평면 위에서 도형을 나타내는 일반적인 식을 \(f(x,y)=0\)이라고 나타낼 수 있어요.

이때, 도형을 \(x\)축 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(b\)만큼 평행이동한 도형의 방정식은 이렇게 나타나요.

즉, \(x\) 대신 \(x – a\), \(y\) 대신 \(y – b\)를 대입하면 된답니다.

📗 개념살펴보기

예를 들어, 도형 \(f(x,y)=0\)을 \(x\)축 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(b\)만큼 평행이동하면 아래와 같이 방정식으로 나타낼 수 있어요.

임의의 점 \(P(x,y)\)를 \(x\)축 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(b\)만큼 이동한 점 \(P'(x’,y’)\)의 좌표는

점 \(P(x,y)\)는 도형 \(f(x-a,y-b)=0\) 위의 점이므로, 평행이동된 점 \(P'(x’,y’)\)는 원래 방정식 \(f(x,y)=0\)을 만족하게 됩니다.

결론적으로 평행이동한 도형의 방정식은 다음과 같아요.

📘 주의할점

도형을 평행이동하면 모양과 크기는 변하지 않아요. 직선은 기울기가 같고, 원은 반지름이 같은 원으로 평행이동한답니다.

평행이동 \((x,y) \longrightarrow (x+4,y-5)\)에 의해 옮겨지는 도형의 방정식을 구해보세요.

1. \(x – 2y + 6 = 0\)
2. \((x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5\)
3. \(y = -x^2 + 3\)

📖 풀이

1. \(x-2y+6=0\)에서 \(x\) 대신 \(x-4\), \(y\) 대신 \(y+5\)를 대입하면,
   \((x-4)-2(y+5)+6=0 \quad \Rightarrow \quad x-2y-8=0\)
2. \((x-3)^2+(y+2)^2=5\)에서 \(x\) 대신 \(x-4\), \(y\) 대신 \(y+5\)를 대입하면,
   \((x-7)^2+(y+7)^2=5\)
3. \(y=-x^2+3\)에서 \(x\) 대신 \(x-4\), \(y\) 대신 \(y+5\)를 대입하면,
   \(y+5=-(x-4)^2+3 \quad \Rightarrow \quad y=-x^2+8x-18\)

정답:

1. \(x-2y-8=0\)
2. \((x-7)^2+(y+7)^2=5\)
3. \(y=-x^2+8x-18\)

좌표평면에서 도형 \(f(x,y)=0\)을 도형 \(f(x+2,y-4)=0\)으로 옮기는 평행이동에 의해 옮겨지는 도형의 방정식을 구해보세요.

1. \(2x+y-4=0\)
2. \((x+3)^2+(y-2)^2=4\)
3. \(y=x^2+2x\)

📖 풀이

1. \(2x+y-4=0\)에서 \(x\) 대신 \(x+2\), \(y\) 대신 \(y-4\)를 대입하면,
   \(2(x+2)+(y-4)-4=0 \quad \Rightarrow \quad 2x+y=4\)
2. \((x+3)^2+(y-2)^2=4\)에서 \(x\) 대신 \(x+2\), \(y\) 대신 \(y-4\)를 대입하면,
   \((x+5)^2+(y-6)^2=4\)
3. \(y=x^2+2x\)에서 \(x\) 대신 \(x+2\), \(y\) 대신 \(y-4\)를 대입하면,
   \(y-4=(x+2)^2+2(x+2) \quad \Rightarrow \quad y=x^2+6x+12\)

정답:

1. \(2x+y=4\)
2. \((x+5)^2+(y-6)^2=4\)
3. \(y=x^2+6x+12\)