개념 123 좌표축에 접하는 원의 방정식
좌표축에 접하는 원의 방정식은 중심의 좌표와 반지름 길이 사이의 관계를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있어요.
(1) \(x\)축에 접하는 원의 방정식
중심이 \((a,b)\)인 원이 \(x\)축에 접하면
\[(\text{반지름의 길이})=|b|\]
이므로 원의 방정식은
\[(x-a)^2+(y-b)^2=b^2\]
(2) \(y\)축에 접하는 원의 방정식
중심이 \((a,b)\)인 원이 \(y\)축에 접하면
\[(\text{반지름의 길이})=|a|\]
이므로 원의 방정식은
\[(x-a)^2+(y-b)^2=a^2\]
(3) \(x\)축, \(y\)축에 동시에 접하는 원의 방정식
중심이 \((a,b)\)인 원이 \(x\)축, \(y\)축에 동시에 접하면
\[(\text{반지름의 길이})=|a|=|b|\]
이므로 원의 방정식은
(ⅰ) \(b=a\)일 때, \((x-a)^2+(y-a)^2=a^2\)
(ⅱ) \(b=-a\)일 때, \((x-a)^2+(y+a)^2=a^2\)
개념확인문제
다음 원의 방정식을 구해보세요.
- 중심이 점 \((-3,2)\)이고 \(x\)축에 접하는 원
- 중심이 점 \((2,-4)\)이고 \(y\)축에 접하는 원
- 중심이 점 \((-4,-4)\)이고 \(x\)축, \(y\)축에 동시에 접하는 원
풀이
(1) 중심이 \((-3,2)\)이고 \(x\)축에 접하는 원의 반지름은 \(|2|=2\)이므로 구하는 원의 방정식은
\[(x+3)^2+(y-2)^2=4\]
(2) 중심이 \((2,-4)\)이고 \(y\)축에 접하는 원의 반지름은 \(|2|=2\)이므로 구하는 원의 방정식은
\[(x-2)^2+(y+4)^2=4\]
(3) 중심이 \((-4,-4)\)이고 \(x\)축, \(y\)축에 동시에 접하는 원의 반지름은 \(|-4|=4\)이므로 구하는 원의 방정식은
\[(x+4)^2+(y+4)^2=16\]
정답 (1) \((x+3)^2+(y-2)^2=4\)
(2) \((x-2)^2+(y+4)^2=4\)
(3) \((x+4)^2+(y+4)^2=16\)