고등수학개념사전 139점에 대한 대칭이동

📌 점에 대한 대칭이동의 개념

평면 위의 점이나 도형을 한 점에 대해 대칭이동하는 방법을 배워볼까요?

점 \(P(x,y)\)를 점 \(A(a,b)\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(P'(x’,y’)\)이라 하면 점 \(A\)에서 두 점 \(P, P’\)에 이르는 거리가 서로 같으므로 점 \(A\)는 선분 \(PP’\)의 중점이 되어요. 따라서 좌표는 아래처럼 표현돼요.

\[a=\frac{x+x’}{2}, \quad b=\frac{y+y’}{2}\]

즉, 이를 정리하면 대칭이동한 점 \(P’\)의 좌표는 \((2a – x, 2b – y)\)가 된답니다.

📌 도형의 점에 대한 대칭이동

도형 \(f(x,y)=0\) 위의 점 \(P(x,y)\)를 점 \(A(a,b)\)에 대하여 대칭이동한 점 \(P'(x’,y’)\)의 좌표는

\[x’=2a – x, \quad y’=2b – y\]

원래 도형의 방정식 \(f(x,y)=0\)에 이를 대입하면,

\[f(2a – x, 2b – y)=0\]

즉, 도형 \(f(x,y)=0\)을 점 \((a,b)\)에 대해 대칭이동한 도형의 방정식은 \(f(2a – x, 2b – y)=0\)이 되는 것이에요.

✅ 개념확인문제

점 \(P(-4,8)\)을 점 \(A(-2,5)\)에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구해보세요.

📖 풀이

구하는 점의 좌표를 \(P'(a,b)\)라고 하면 점 \(A(-2,5)\)가 중점이 되므로 다음과 같은 방정식을 세울 수 있어요.

\[\frac{-4+a}{2}=-2, \quad \frac{8+b}{2}=5\]

이 방정식을 풀면,

\[a=0, \quad b=2\]

따라서 구하는 점의 좌표는 \((0,2)\)랍니다.

정답: \((0,2)\)