개념 122 원의 방정식의 일반형
\(x, y\)에 대한 이차방정식 \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\;(A^2+B^2-4C>0)\)은
중심의 좌표가 \(\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)\), 반지름의 길이가 \(\frac{\sqrt{A^2+B^2-4C}}{2}\)
인 원을 나타내요.
주의할점: \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\;(A,B,C\text{는 실수})\) 꼴의 방정식을 원의 방정식의 일반형이라고 합니다.
개념살펴보기
(ⅰ) 원의 방정식 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)의 좌변을 정리하면
\[x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\]
여기서 \(-2a=A,\quad -2b=B,\quad a^2+b^2-r^2=C\)라 하면
\[x^2+y^2+Ax+By+C=0\]
꼴로 나타낼 수 있어요.
즉, 원의 방정식은 \(x^2\)의 계수와 \(y^2\)의 계수가 같고, \(xy\)항이 없는 \(x, y\)에 대한 이차방정식이에요.
(ⅱ) 거꾸로 \(①\)을 \(x, y\)에 대한 완전제곱식의 합으로 변형하면
\[\left(x+\frac{A}{2}\right)^2+\left(y+\frac{B}{2}\right)^2=\frac{A^2+B^2-4C}{4}\]
따라서 \(A^2+B^2-4C>0\)이면 방정식 \(①\)은
중심의 좌표가 \(\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)\), 반지름의 길이가 \(\frac{\sqrt{A^2+B^2-4C}}{2}\)
인 원의 방정식이 됩니다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 방정식 \(①\)을 원의 방정식의 일반형이라고 해요.
참고로 \(A^2+B^2-4C=0\)이면 방정식 \(①\)은 점 \(\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)\)을 나타내고, \(A^2+B^2-4C<0\)이면 방정식 \(①\)을 만족시키는 실수 \(x,y\)는 존재하지 않아요.
주의할점: 방정식 \(①\)이 나타내는 도형을 \(A^2+B^2-4C>0\)일 때 실원, \(A^2+B^2-4C=0\)일 때 점원, \(A^2+B^2-4C<0\)일 때 허원이라 해요. 보통 원이라고 하면 \(A^2+B^2-4C>0\)일 경우, 즉 실원인 경우만 말합니다.
개념확인문제 ①
다음 방정식이 나타내는 원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 각각 구해보세요.
- \(x^2+y^2+4x=0\)
- \(x^2+y^2-6y-7=0\)
- \(x^2+y^2-8x+2y-8=0\)
풀이
(1) 방정식 \(x^2+y^2+4x=0\)을 변형하면
\[(x+2)^2+y^2=4\]
따라서 이 원의 중심의 좌표는 \((-2, 0)\), 반지름의 길이는 \(2\)입니다.
(2) 방정식 \(x^2+y^2-6y-7=0\)을 변형하면
\[x^2+(y-3)^2=16\]
따라서 이 원의 중심의 좌표는 \((0, 3)\), 반지름의 길이는 \(4\)입니다.
(3) 방정식 \(x^2+y^2-8x+2y-8=0\)을 변형하면
\[(x-4)^2+(y+1)^2=25\]
따라서 이 원의 중심의 좌표는 \((4, -1)\), 반지름의 길이는 \(5\)입니다.
정답 (1) 중심의 좌표: \((-2,0)\), 반지름: \(2\)
(2) 중심의 좌표: \((0,3)\), 반지름: \(4\)
(3) 중심의 좌표: \((4,-1)\), 반지름: \(5\)
개념확인문제 ②
다음 방정식이 나타내는 도형이 원이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구해 보세요.
- \(x^2+y^2-6x+2y+k=0\)
- \(x^2+y^2+2kx+4ky+8k^2-k-2=0\)
풀이
(1) 방정식 \(x^2+y^2-6x+2y+k=0\)을 변형하면
\[(x-3)^2+(y+1)^2=10-k\]
이 방정식이 원이 되려면 \(10-k>0\), 즉 \(k<10\)이에요.
(2) 방정식 \(x^2+y^2+2kx+4ky+8k^2-k-2=0\)을 변형하면
\[(x+k)^2+(y+2k)^2=5k+2\]
이 방정식이 원이 되려면 \(5k+2>0\), 즉 \(k>-\frac{2}{5}\)에요.
정답 (1) \(k<10\) (2) \(k>-\frac{2}{5}\)