고등수학개념사전 138도형의 대칭이동

📌 도형의 대칭이동

도형의 방정식 \(f(x,y)=0\)이 나타내는 도형을 \(x\)축, \(y\)축, 원점 및 직선 \(y=x\)에 대하여 각각 대칭이동한 도형의 방정식은 아래와 같아요.

📗 개념살펴보기

특히 (1) \(x\)축과 (4) 직선 \(y=x\)에 대한 대칭이동을 자세히 볼게요!

1. \(x\)축에 대한 대칭이동: 임의의 점 \(P(x,y)\)를 \(x\)축에 대칭한 점 \(P'(x’,y’)\)이라 하면 \(x’=x\), \(y’=-y\)가 되므로, 원래 도형 위 점의 조건 \(f(x,y)=0\)에 따라
   \[f(x,-y)=0\]
   으로 방정식이 바뀌어요.
2. 직선 \(y=x\)에 대한 대칭이동: 임의의 점 \(P(x,y)\)를 직선 \(y=x\)에 대칭한 점 \(P'(x’,y’)\)이라 하면 \(x’=y\), \(y’=x\)가 되므로 원래 도형 위 점의 조건 \(f(x,y)=0\)에 따라
   \[f(y,x)=0\]
   로 방정식이 바뀌어요.

✅ 개념확인문제

주어진 도형의 방정식 \( x – 2y + 5 = 0 \)을 다음 직선 및 점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구해보세요.

1. \(x\)축에 대한 대칭이동
2. \(y\)축에 대한 대칭이동
3. 원점에 대한 대칭이동
4. 직선 \(y=x\)에 대한 대칭이동

📖 풀이해 볼까요?

1. \(x\)축 대칭이동:
   \(y\)대신 \(-y\)를 대입해서 구하면
   \[x+2y+5=0\]
2. \(y\)축 대칭이동:
   \(x\) 대신 \(-x\)를 대입하면
   \[-x-2y+5=0\]
3. 원점 대칭이동:
   \(x\) 대신 \(-x\), \(y\) 대신 \(-y\)를 대입하면
   \[-x+2y+5=0 \quad \Rightarrow \quad x-2y-5=0\]
4. 직선 \(y=x\) 대칭이동:
   \(x\)와 \(y\)의 자리를 서로 바꿔서
   \[y+2x+5=0\]

📌 정답을 정리하면?

1. \(x+2y+5=0\)
2. \(-x+2y+5=0\)
3. \(-x-2y+5=0\)
4. \(y+2x+5=0\)

📝 기억해두면 좋은 주의할점!

• 점의 대칭이동과 도형의 대칭이동은 부호 변환이 같아요.
• 원점 대칭이동은 \(x\)축 대칭이동과 \(y\)축 대칭이동을 연속으로 수행한 것과 같아요.
• 직선 \(y=x\)에 대한 대칭이동은 \(x,y\)를 서로 바꿔서 표현해요.