개념 124 원과 직선의 위치 관계 – 판별식 이용
원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식 \(D\)를 이용하여 원과 직선의 위치 관계를 판별할 수 있어요.
- ① \(D>0\): 서로 다른 두 점에서 만나요.
- ② \(D=0\): 한 점에서 만나요. (접해요)
- ③ \(D<0\): 만나지 않아요.
개념살펴보기
원과 직선이 만나는 교점의 개수는 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식 \(D\)를 계산하여 알 수 있어요.
즉, 교점의 개수는 다음과 같이 판별됩니다.
– \(D>0\): 서로 다른 두 점에서 만나요. (교점이 두 개)
– \(D=0\): 한 점에서 만나요. (접해요)
– \(D<0\): 만나지 않아요. (교점이 없어요)
개념확인문제
다음 원과 직선의 위치 관계를 판별해 보세요.
- \(x^2+y^2=2\)와 직선 \(y=x+2\)
- \(x^2+y^2=4\)와 직선 \(y=3x+1\)
풀이
(1) \(y=x+1\)을 원의 방정식 \(x^2+y^2=4\)에 대입하면
\[x^2+(x+1)^2=4\]
\[10x^2+4x-3=0\]
이때 판별식 \(D=4^2-4\cdot10\cdot(-3)=136>0\)
따라서 서로 다른 두 점에서 만납니다.
(2) \(x^2+y^2=4\)에 \(y=3x+1\)을 대입하면
\[x^2+(3x+1)^2=4\quad\rightarrow\quad 10x^2+6x-3=0\]
판별식 \(D=0^2-4\cdot10\cdot(-3)=120>0\)
역시 서로 다른 두 점에서 만납니다.
정답: (1) 서로 다른 두 점에서 만난다. (2) 서로 다른 두 점에서 만난다.