“
삼각형이 이등변삼각형이 되도록 하는 미지수의 모든 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 이등변삼각형이 되려면 세 변 중 두 변의 길이가 같아야 합니다.
2. 따라서, **(i) AB=BC, (ii) BC=CA, (iii) CA=AB** 의 세 가지 경우를 모두 고려해야 합니다.
3. 각각의 경우에 대해 방정식을 세워 미지수 a의 값을 모두 구합니다.
4. 문제에서 ‘모든 실수의 값의 곱’을 요구했으므로, 찾아낸 모든 a값을 곱하여 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
세 가지 경우 중 하나만 고려하여 답을 놓치는 실수를 해서는 안 됩니다. 모든 가능성을 체계적으로 나누어 푸는 것이 중요합니다.
”
이등변삼각형이 될 조건
“
세 꼭짓점의 좌표만으로 삼각형의 종류(예: 이등변, 직각, 정삼각형 등)를 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]세 변 AB, BC, CA의 길이를 모두 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다. [cite: 1006-1008]
2. 변의 길이를 비교하여 같은 길이가 있는지 확인합니다. (두 변이 같으면 이등변, 세 변이 모두 같으면 정삼각형)
3. 가장 긴 변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같은지 **피타고라스 정리**를 통해 확인합니다. (성립하면 직각삼각형)
주의할 점:
길이를 비교할 때는 루트가 없는 제곱 값을 비교하는 것이 편리하고 정확합니다. 직각삼각형이면서 동시에 이등변삼각형일 수도 있으니(직각이등변삼각형) 두 가지 조건을 모두 점검하는 습관이 필요합니다.
”
세 변의 길이로 삼각형 모양 판별
“
세 꼭짓점의 좌표를 이용하여 삼각형이 직각삼각형이 될 조건을 찾는 문제입니다. 피타고라스 정리가 핵심 개념입니다.
접근법:
1. 세 변 AB, BC, CA의 길이를 각각 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 식으로 나타냅니다.
2. 문제에서 각 A가 90도라고 명시했으므로, 피타고라스 정리에 따라 **BC² = AB² + AC²** 이 성립해야 합니다.
3. 각 변의 길이의 제곱을 이 식에 대입하여 미지수 a에 대한 방정식을 풀면 됩니다.
주의할 점:
어느 각이 직각인지 주어졌는지 정확히 확인해야 합니다. 만약 특정 각이 주어지지 않았다면 세 가지 경우(각A, 각B, 각C가 90도)를 모두 고려해야 합니다.
”
직각삼각형이 될 조건
“
8번, 11번 문제와 유사하게, 이번에는 직선 y=-x 위에 있는 등거리점을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P가 직선 y=-x 위에 있으므로, 좌표를 (a, -a)로 설정하여 미지수를 하나로 줄입니다.
2. AP=BP 조건을 이용해 a에 대한 방정식을 세우고 풀어 점 P의 좌표를 확정합니다.
3. 문제의 최종 질문은 점 P의 좌표가 아니라 **선분 OP의 길이**이므로, 원점 (0,0)과 점 P 사이의 거리를 다시 계산해야 합니다.
주의할 점:
점 P의 좌표를 구하고 끝내지 않도록 문제의 마지막 요구사항을 반드시 확인해야 합니다. 최종 답을 내기 전 한 단계의 계산이 더 필요합니다.
”
직선 위 등거리 점과 원점 거리
“
원점(O)으로부터 같은 거리에 있는 두 점의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 OA의 길이를 두 점 사이의 거리 공식으로 구합니다.
2. 선분 OB의 길이를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. OA=OB라는 조건에 따라 두 식을 같다고 놓고 방정식을 풉니다.
4. 문제에서 요구하는 ‘양수 a’라는 조건에 맞는 값을 선택합니다.
주의할 점:
원점은 좌표가 (0,0)이라는 점을 이용하면 간단히 해결되는 기본적인 문제입니다. 거리 공식을 정확하게 적용하는 것이 중요합니다.
”
원점으로부터 같은 거리의 점
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이차함수와 직선의 교점, 그리고 포물선 위의 등거리점을 찾는 복합적인 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]먼저 두 함수 f(x)와 g(x)의 교점 A, B의 좌표를 구하기 위해 두 식을 같다고 놓고 방정식을 풉니다. [cite: 970-971]
2. 포물선 위의 점 P의 좌표를 미지수 x를 이용해 (x, f(x))로 설정합니다.
3. AP=BP라는 조건을 양변을 제곱하여 식으로 세우면, 복잡해 보이지만 양쪽의 고차항이 소거되어 간단한 x에 대한 방정식이 남습니다.
주의할 점:
교점 A, B의 좌표를 정확히 구하는 것이 첫 단계입니다. AP=BP 식을 전개할 때 계산 실수가 발생하기 쉬우므로 주의해야 합니다. 문제의 ‘x좌표는 음수’라는 단서도 놓치지 마세요.
”
포물선 위의 등거리 점 찾기
“
두 점 A, B에서 같은 거리에 있으면서 특정 직선 위에 있는 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 P가 주어진 직선 위의 점이므로, x좌표를 미지수 a로 두면 y좌표도 a에 대한 식으로 표현할 수 있습니다. (예: (a, 2a+1)[cite_start]) [cite: 950] 이렇게 하면 미지수가 하나로 줄어듭니다.
2. [cite_start]’같은 거리에 있다’는 조건(AP=BP)을 이용해 a에 대한 방정식을 세웁니다. [cite: 951]
3. 방정식을 풀어 a값을 구하고, 이를 이용해 점 P의 완전한 좌표를 찾습니다.
주의할 점:
미지수를 2개(a, b)로 설정하고 연립방정식으로 풀 수도 있지만, 처음부터 점이 직선 위에 있다는 조건을 활용하여 미지수를 1개로 줄이는 것이 훨씬 효율적입니다.
”
직선 위의 등거리 점 찾기
“
두 가지 다른 조건이 주어지고, 이를 연립방정식으로 풀어 미지수를 결정하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘두 점 A, B에서 같은 거리에 있다’는 첫 번째 조건(AP=BP)을 이용해 미지수 a, b 사이의 관계식을 하나 만듭니다.
2. ‘원점 O와의 거리가 7이다’라는 두 번째 조건(OP=7)을 이용해 또 다른 관계식을 만듭니다.
3. 두 개의 식을 연립하여 a와 b의 값을 구한 뒤, 문제에서 요구하는 최종 값을 계산합니다.
주의할 점:
각각의 조건이 어떤 기하학적 의미를 갖는지 이해하면 좋습니다. 첫 번째 조건은 ‘선분 AB의 수직이등분선’이라는 직선을, 두 번째 조건은 ‘중심이 원점인 원’을 의미합니다. 즉, 이 문제는 직선과 원의 교점을 찾는 문제로 해석할 수도 있습니다.
”
등거리 조건과 원점 거리
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x축 위의 점과 y축 위의 점을 각각 찾아야 하는, 동일한 과정을 두 번 반복하는 응용 문제입니다.
접근법:
1. x축 위의 점 P를 (x, 0)으로 설정하고, AP=BP 조건을 이용해 P의 좌표를 구합니다.
2. y축 위의 점 Q를 (0, y)으로 설정하고, AQ=BQ 조건을 이용해 Q의 좌표를 구합니다.
3. 앞에서 구한 두 점 P와 Q의 좌표를 이용해, 선분 PQ의 길이를 다시 거리 공식으로 구합니다.
주의할 점:
계산 과정이 길기 때문에 중간에 실수가 나오지 않도록 각 단계를 차분하게 진행하는 것이 중요합니다. 이 문제의 원리는 삼각형의 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 ‘외심’을 찾는 과정과 유사합니다.
”
좌표축 위의 등거리 두 점 사이 거리
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특정 축 또는 직선 위의 점에서 두 점까지의 거리가 같은 경우, 해당 점의 좌표를 찾는 유형입니다.
접근법:
1. ‘x축 위의 점’이므로 y좌표가 0입니다. 따라서 점 P의 좌표를 (a, 0)으로 설정하고 시작합니다.
2. ‘같은 거리에 있다’는 조건은 등식 AP = BP를 의미합니다.
3. 양변을 제곱한 식을 세워 방정식을 풀면 미지수 a의 값을 구할 수 있습니다.
4. 문제에서는 점 P의 좌표가 아닌 원점과 P 사이의 거리를 물었으므로 마지막 계산에 유의합니다.
주의할 점:
두 점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합은 ‘선분 AB의 수직이등분선’입니다. 따라서 이 문제는 선분 AB의 수직이등분선과 x축의 교점을 구하는 문제와 같습니다.
”
x축 위의 등거리 점 찾기
