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네 점까지의 거리의 합(PO+PA+PB+PC)의 최솟값을 묻는 응용 문제입니다.
접근법:
1. 거리의 합을 두 쌍으로 묶어서 생각합니다: (PA+PC) + (PO+PB).
2. 삼각형의 결정 조건에 의해 PA+PC의 최솟값은 **선분 AC의 길이**이고, PO+PB의 최솟값은 **선분 OB의 길이**입니다.
3. 전체 합이 최소가 되는 경우는 점 P가 **두 대각선(AC와 OB)의 교점**에 위치할 때입니다.
4. 따라서 최솟값은 두 대각선의 길이의 합, 즉 AC + OB 입니다.
주의할 점:
점이 3개 이상일 때는 적절히 두 개씩 짝을 지어 각각의 최솟값 조건을 생각하고, 그 조건들이 동시에 만족될 수 있는 지점을 찾는 것이 일반적인 해결 전략입니다.
”
네 점과 임의의 점 사이 거리 합 최솟값
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25번 문제와 완전히 동일한 원리를 적용하는 문제입니다. 점의 좌표만 바뀌었습니다.
접근법:
1. [cite_start]문제의 식은 원점 O(0,0)과 점 A(a,b) 사이의 거리, 그리고 점 A(a,b)와 점 B(2,-1) 사이의 거리의 합을 의미합니다. [cite: 1170-1174]
2. 이 거리의 합(OA+AB)이 최소가 되려면, 세 점 O, A, B가 **일직선 위에 있어야** 하며, 점 A는 선분 OB 위에 있어야 합니다.
3. 따라서 최솟값은 **선분 OB의 길이**와 같습니다. 원점 O와 점 B 사이의 거리를 구하면 됩니다.
주의할 점:
미지수 a, b가 포함되어 있어 복잡해 보이지만, 기하학적 의미를 파악하면 실제 계산은 매우 간단해지는 문제입니다. 식의 구조를 파악하는 것이 중요합니다.
”
세 점 사이 거리 합 최솟값
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두 정점과 임의의 한 점을 잇는 두 선분의 길이 합(AP+PB)의 최솟값을 묻는 가장 기본적인 유형입니다.
접근법:
1. 삼각형의 결정 조건에 의해, 점 P가 어디에 있든 항상 **AP + PB ≥ AB** 가 성립합니다.
2. 등호는 점 P가 **선분 AB 위에 있을 때** 성립하므로, AP+PB의 최솟값은 바로 선분 AB의 길이 그 자체가 됩니다.
3. 따라서 두 점 A와 B 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 최솟값입니다.
주의할 점:
점이 특정 축이나 직선 위에 있다는 제한 조건이 없는 ‘임의의 점 P’일 경우, 최솟값은 항상 두 정점을 셔틀처럼 왕복하지 않고 직선으로 이은 거리라는 점을 기억하세요.
”
두 점과 임의의 점 사이 거리 합 최솟값
“
루트가 포함된 복잡한 식의 최솟값을 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리의 합으로 해석하여 푸는 문제입니다.
접근법:
1. 식의 각 항을 두 점 사이의 거리로 해석합니다. [cite_start]첫 번째 항은 (x,0)과 (0,4) 사이의 거리, 두 번째 항은 (x,0)과 (3,-2) 사이의 거리로 볼 수 있습니다. [cite: 1137-1146]
2. 즉, 이 문제는 x축 위의 한 점(x,0)에서 두 정점(0,4), (3,-2)에 이르는 거리의 합의 최솟값을 구하는 것과 같습니다.
3. 거리의 합이 최소가 되는 경우는 **세 점이 일직선 위에 있을 때**이므로, 최솟값은 두 정점 (0,4)와 (3,-2) 사이의 거리와 같습니다.
주의할 점:
주어진 식을 그대로 계산하는 것이 아니라, 좌표평면 위의 선분의 길이로 기하학적인 의미를 부여하여 해석하는 능력이 필요합니다.
”
거리의 합 최솟값 (좌표 설정)
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22번 문제와 동일하게 직각삼각형의 외심의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. ‘외심 P가 변 BC 위에 있다’는 것은 삼각형 ABC가 **변 BC를 빗변으로 하는 직각삼각형**임을 의미합니다.
2. 외심의 정의에 따라, 외심 P에서 세 꼭짓점 A, B, C까지의 거리는 모두 같습니다(PA=PB=PC).
3. 따라서 빗변 BC의 길이는 **선분 PA 길이의 2배**와 같습니다.
4. 피타고라스 정리에 의해 AB² + AC² = BC² 이므로, 최종적으로 AB² + AC² = (2PA)² 이 성립합니다.
주의할 점:
외심의 성질을 이용해 변 BC의 길이를 PA의 길이로 치환하여 표현할 수 있다는 점이 이 문제 풀이의 핵심 아이디어입니다.
”
직각삼각형과 파푸스의 중선정리
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직각삼각형의 외심에 대한 성질을 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 문제에서 ‘외심이 변 AB 위에 있다’는 결정적인 힌트를 주었습니다. 이는 삼각형 PAB가 변 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형임을 의미합니다.
2. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로, 주어진 외심 (8,6)은 선분 AB의 중점입니다.
3. 외심으로부터 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같으므로, 외심과 점 P 사이의 거리는 **외심과 원점 O 사이의 거리**와 같습니다.
주의할 점:
점 A, B, P의 좌표를 직접 구하려고 하면 문제가 매우 복잡해집니다. ‘외심이 빗변 위에 있다’는 기하학적 성질을 해석하여 풀이의 방향을 잡는 것이 핵심입니다.
”
직각삼각형과 외심의 성질
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삼각형의 외심의 좌표를 찾는 문제입니다. 외심의 정의를 정확히 알고 있어야 합니다.
접근법:
1. 방법 1 (정의 이용): 외심을 P(x,y)라 하면, 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같습니다(PA=PB=PC). [cite_start]이 조건을 연립방정식(PA²=PB², PB²=PC²)으로 만들어 풀면 됩니다. [cite: 1073-1091]
2. 방법 2 (도형 성질 이용): 세 변의 길이를 구해 삼각형의 종류를 판별합니다. [cite_start]만약 직각삼각형이라면 외심은 빗변의 중점에 위치하므로, 중점 좌표를 구해 매우 간단하게 풀 수 있습니다. [cite: 1093-1103]
주의할 점:
항상 방법 2가 가능한지 먼저 확인하는 습관을 들이는 것이 시간 단축에 매우 유리합니다. 세 변의 길이를 구하는 것은 어떤 방법으로든 필요할 수 있으므로 우선적으로 계산해보는 것이 좋습니다.
”
삼각형 외심의 좌표 구하기
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직각이등변삼각형이 될 조건을 이용하는 문제입니다. ‘직각’ 조건과 ‘이등변’ 조건을 모두 사용해야 합니다.
접근법:
1. ‘각 B가 90도’라는 조건에서 피타고라스 정리, 즉 **CA² = AB² + BC²** 이 성립합니다.
2. ‘이등변’ 조건에서 직각을 낀 두 변의 길이, 즉 **AB = BC** 가 성립합니다.
3. 이 두 가지 조건을 모두 만족하는 미지수 a를 찾으면 됩니다. 보통 하나의 조건에서 나온 해 중에서 다른 조건을 만족시키는 값을 선택하게 됩니다.
주의할 점:
두 조건 중 계산이 더 간단해 보이는 식을 먼저 푸는 것이 좋습니다. [cite_start]이 문제에서는 두 조건을 각각 풀어 공통된 해를 찾는 방식으로 해결하고 있습니다. [cite: 1061, 1067]
”
직각이등변삼각형이 될 조건
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세 꼭짓점의 좌표를 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 먼저 삼각형의 종류를 판별하는 것이 효율적입니다.
접근법:
1. 16번 문제와 같이, 세 변의 길이를 모두 구하여 삼각형의 종류를 먼저 파악합니다.
2. [cite_start]이 문제는 세 변의 길이의 제곱 사이에 피타고라스 정리가 성립하는 직각삼각형입니다. [cite: 1049]
3. 따라서 직각을 낀 두 변을 밑변과 높이로 삼아 넓이를 간단하게 계산할 수 있습니다.
주의할 점:
만약 직각삼각형이 아니라면 ‘신발끈 공식’을 사용하거나, 한 변을 밑변으로 정하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 높이를 구해야 합니다. 종류 판별이 풀이 전략을 결정합니다.
”
세 좌표로 직각삼각형 넓이 구하기
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정삼각형의 성질을 이용하여 나머지 한 꼭짓점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같습니다. 즉, **AB = BC = CA** 입니다.
2. 이 조건을 식으로 변환하면, **AB² = BC²** 과 **BC² = CA²** 라는 두 개의 등식을 얻을 수 있습니다.
3. 구하려는 점 C의 좌표를 (a,b)로 두고 이 두 개의 등식을 연립하여 a와 b의 값을 구합니다.
4. 문제의 ‘제2사분면의 점’이라는 조건을 이용해 최종 좌표를 확정합니다.
주의할 점:
미지수가 2개이므로 식도 2개가 필요하다는 점을 기억해야 합니다. 연립방정식의 풀이가 복잡할 수 있으니 침착하게 계산해야 합니다.
”
정삼각형의 나머지 꼭짓점 찾기
