“
파푸스의 중선정리를 일반화한 스튜어트의 정리와 관련된 문제입니다. 좌표를 설정하여 직접 증명하는 과정을 보여줍니다.
접근법:
1. 중선정리 증명과 마찬가지로, 도형을 풀기 쉬운 위치에 놓는 **좌표 설정**이 중요합니다. 점 B를 원점에, 변 BC를 x축 위에 놓습니다.
2. 문제에서 주어진 조건(삼등분점)에 맞게 각 점의 좌표를 문자로 표현합니다.
3. 증명하려는 등식의 좌변과 우변을 각각 좌표를 이용해 계산합니다.
4. 두 결과가 같음을 확인하고, 빈칸에 알맞은 식을 찾습니다.
주의할 점:
좌표를 이용한 증명 문제는 계산 과정이 길고 복잡하지만, 원리는 단순합니다. 각 선분의 길이를 좌표를 이용해 정확히 표현하는 능력만 있다면 해결할 수 있습니다.
”
좌표를 이용한 도형 성질 증명
“
평행사변형의 성질과 파푸스의 중선정리를 결합하여 대각선의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 평행사변형은 두 대각선이 서로를 이등분한다는 성질을 가집니다.
2. 삼각형 ABC에 주목하면, 선분 BO는 중선이 아니지만, 대각선의 교점을 M이라 할 때 **선분 BM은 삼각형 ABC의 중선**이 됩니다.
3. 따라서 삼각형 ABC에 중선정리를 적용하여 중선 BM의 길이를 구할 수 있습니다.
4. 평행사변형의 대각선 BD의 길이는 중선 BM 길이의 2배이므로, 구한 값에 2를 곱합니다. (이 문제는 반대로 BD길이를 주고 AC길이를 구하는 문제입니다) [cite_start][cite: 1339-1350]
주의할 점:
평행사변형을 두 개의 삼각형으로 나누고, 그 삼각형 안에서 중선정리를 적용할 수 있는 부분을 찾아내는 것이 핵심입니다.
”
평행사변형과 중선정리
“
중선정리와 삼각형 무게중심의 성질을 함께 이용하는 복합 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]먼저 34번 문제와 같이, 중선정리를 이용해 중선 AM의 길이를 구합니다. [cite: 1319-1320]
2. 삼각형의 무게중심 G는 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분한다는 성질을 이용합니다.
3. 문제에서 구하려는 선분 GM의 길이는 **중선 AM 길이의 1/3**에 해당합니다.
4. 1단계에서 구한 AM의 길이에 1/3을 곱하여 답을 구합니다.
주의할 점:
무게중심이 중선을 2:1로 나눈다는 성질을 정확히 기억해야 합니다. AG를 묻는지 GM을 묻는지에 따라 2/3를 곱할지 1/3을 곱할지 결정됩니다.
”
중선정리 활용 (무게중심)
“
삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때 중선의 길이를 구하는 문제로, 파푸스의 중선정리를 직접적으로 활용합니다.
접근법:
1. 삼각형 ABC에서 변 BC의 중점이 M일 때, 중선정리 공식 **AB² + AC² = 2(AM² + BM²)** 이 성립합니다.
2. 문제에 주어진 세 변의 길이를 공식에 그대로 대입합니다.
3. [cite_start]변 BC의 길이가 10이므로, 변 BM의 길이는 5입니다. [cite: 1325]
4. 값을 대입하면 구하려는 중선 AM의 길이를 미지수로 하는 간단한 방정식을 풀 수 있습니다.
주의할 점:
중선정리를 모르면 풀기 매우 어려운 문제입니다. 공식의 형태를 정확하게 암기하고, 각 변이 공식의 어느 부분에 해당하는지 정확히 대입해야 합니다.
”
중선정리 활용 (중선 길이)
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삼각형의 중선과 세 변의 길이 사이에 성립하는 관계식인 파푸스의 중선정리를 증명하는 과정입니다.
접근법:
1. 증명을 위해 도형을 좌표평면 위에 편리하게 배치하는 것이 중요합니다. 변 BC의 중점 M을 **원점(0,0)**에, 변 BC를 x축 위에 놓습니다.
2. 이렇게 하면 각 꼭짓점의 좌표를 간단한 문자로 표현할 수 있습니다. (예: B(-c,0), C(c,0), A(a,b))
3. 중선정리 공식의 좌변(AB²+AC²)과 우변(2(AM²+BM²))을 각각 좌표를 이용해 계산합니다.
4. 두 결과가 일치함을 보이면 증명이 완료됩니다.
주의할 점:
이 문제는 공식 자체를 암기하고 있는지도 중요하지만, 좌표를 이용해 도형의 성질을 어떻게 증명하는지의 과정을 이해하는 것이 더 중요합니다.
”
중선정리 증명 (파푸스의 정리)
“
거리의 제곱의 합 최솟값 문제에서 점 P가 특정 직선 위에 있도록 조건이 추가된 유형입니다.
접근법:
1. 점 P가 직선 y=x+3 위에 있으므로, 좌표를 (a, a+3)으로 설정하여 미지수를 하나로 줄입니다.
2. AP² + BP²의 값을 a에 대한 식으로 나타내고 전개합니다.
3. 결과적으로 a에 대한 이차함수가 만들어지며, 이 함수의 꼭짓점에서 최솟값이 발생합니다.
4. 최솟값을 가질 때의 a값을 구하고, 이를 이용해 점 P의 좌표와 문제의 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
30, 31, 32번 문제는 점 P의 조건(x축 위, 임의의 점, 직선 위)에 따라 풀이 시작 부분의 좌표 설정만 달라질 뿐, 최종적으로 이차함수의 최대·최소를 이용하는 핵심 원리는 동일합니다.
”
거리 제곱의 합 최솟값 (직선 위)
“
30번 문제에서 점 P의 위치가 ‘x축 위’가 아닌 임의의 점으로 확장된 유형입니다.
접근법:
1. 임의의 점 P의 좌표를 (a, b)로 설정합니다.
2. AP² + BP²의 값을 a와 b에 대한 식으로 나타냅니다.
3. 식을 a에 대한 완전제곱식과 b에 대한 완전제곱식으로 각각 정리합니다.
4. 식이 최소가 되려면 각각의 완전제곱식이 0이 되어야 하므로, 이를 통해 a와 b의 값을 찾을 수 있습니다. 이때의 점 P는 **선분 AB의 중점**이 됩니다.
주의할 점:
결론적으로, 두 점으로부터 거리의 제곱의 합이 최소가 되는 점은 두 점의 중점입니다. 이 사실을 알고 있다면 검산이나 빠른 문제 풀이에 도움이 됩니다.
”
거리 제곱의 합 최솟값 (임의의 점)
“
선분 길이의 ‘제곱의 합’의 최솟값을 구하는 문제입니다. 거리의 합 최솟값 문제와는 풀이법이 완전히 다릅니다.
접근법:
1. x축 위의 점 P의 좌표를 (b, 0)으로 설정합니다.
2. AP²과 BP²을 각각 b에 대한 식으로 나타냅니다. 제곱이므로 루트가 사라져 계산이 간편합니다.
3. 두 식을 더하면 b에 대한 간단한 **이차함수**가 만들어집니다.
4. 이 이차함수의 꼭짓점을 찾아 최솟값과 그때의 b값을 구하면 됩니다.
주의할 점:
대칭이동을 이용하는 ‘거리의 합’ 최솟값 문제와 절대 혼동해서는 안 됩니다. ‘제곱의 합’은 항상 이차함수의 최대·최소 문제로 귀결된다는 점을 기억하세요.
”
거리 제곱의 합 최솟값 (x축 위)
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움직이는 두 물체 사이의 최단 거리를 묻는 실생활 활용 문제입니다. 시간에 따른 위치를 좌표로 설정하는 것이 핵심입니다.
접근법:
1. 교차로 O를 원점(0,0)으로 설정합니다.
2. [cite_start]출발 후 t시간이 지났을 때의 두 학생 A, B의 위치를 각각 t에 대한 좌표로 표현합니다. [cite: 1193]
3. 두 학생 사이의 거리를 t에 대한 식으로 나타내면, 루트 안에 t에 대한 이차식이 들어있는 형태가 됩니다.
4. 루트 안의 **이차식이 최소일 때 거리도 최소**가 되므로, 이차함수의 최솟값을 구하는 문제로 귀결됩니다.
주의할 점:
속력과 시간을 이용해 t초 후의 위치를 정확히 좌표로 설정하는 것이 가장 중요합니다. 동쪽은 +x, 서쪽은 -x, 북쪽은 +y, 남쪽은 -y 방향으로 설정하면 편리합니다.
”
실생활 속 거리 최솟값 (속력)
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두 선분의 길이의 차(|PB-PA|)의 최댓값을 구하는 문제입니다. 합의 최솟값 문제와 원리를 비교하며 이해해야 합니다.
접근법:
1. 삼각형의 결정 조건에 의해, 점 P가 어디에 있든 항상 **|PB-PA| ≤ AB** 가 성립합니다.
2. 등호는 세 점 P, A, B가 **일직선 위에 있을 때** 성립합니다.
3. 따라서 길이의 차의 최댓값은 바로 **선분 AB의 길이**입니다.
4. 두 점 A와 B 사이의 거리를 구하면 그것이 최댓값이 됩니다.
주의할 점:
거리의 ‘합’의 최솟값과 거리의 ‘차’의 최댓값은 모두 두 정점 사이의 거리가 된다는 점을 기억하세요. 단, 점 P가 특정 직선(예: x축) 위에 있을 때, 합의 최솟값은 대칭이동을 이용해야 합니다.
”
두 점과 직선 위 점 사이 거리 차 최댓값
