“
내분점의 좌표가 주어졌을 때, 원래 선분의 끝점의 좌표를 역으로 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 1:b로 내분하는 점의 좌표를 미지수 a, b를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 이 좌표가 주어진 내분점의 좌표 (2, -1)과 같다고 놓고, x좌표와 y좌표에 대한 등식을 각각 세웁니다.
3. [cite_start]두 등식을 연립하여 a와 b의 값을 찾습니다. [cite: 1475-1477]
4. 이어서 두 번째 내분 조건을 이용해 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
미지수가 비율과 좌표에 모두 포함되어 있어 복잡해 보일 수 있습니다. x성분과 y성분을 각각 나누어 침착하게 방정식을 세우고 푸는 것이 중요합니다.
”
내분점 좌표를 이용한 미지수 계산
“
내분점과 중점의 정의를 이용하여 알려지지 않은 점 Q의 좌표를 역으로 추적하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B의 좌표를 이용해 내분점 P의 좌표를 구합니다.
2. 점 Q의 좌표를 미지수 (a, b)로 설정합니다.
3. [cite_start]점 P와 Q를 3:1로 내분하는 점이 B가 된다는 식을 세웁니다. [cite: 1500]
4. 이 식을 풀면 미지수 a, b, 즉 점 Q의 좌표를 구할 수 있습니다.
5. 마지막으로 구한 점 P, Q의 중점 좌표를 찾아 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
문제의 흐름을 따라 순서대로 계산하는 것이 아니라, 중간 과정의 점을 미지수로 설정하고 역으로 추적해야 한다는 점이 특징입니다. 문제의 구조를 파악하는 것이 중요합니다.
”
내분점을 이용한 다른 점의 좌표
“
한 선분에 대한 서로 다른 두 내분점을 각각 구한 뒤, 그 두 점의 중점을 다시 찾는 3단계 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 2:3으로 내분하는 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 선분 AB를 1:2로 내분하는 점 Q의 좌표를 구합니다.
3. 마지막으로, 앞에서 구한 두 점 P와 Q를 이용해 선분 PQ의 중점 좌표를 구합니다.
주의할 점:
여러 번의 계산을 요구하므로 각 단계마다 좌표와 비율을 혼동하지 않도록 주의를 기울여야 합니다. 특히 내분점 공식을 연속해서 사용할 때 집중력이 필요합니다.
”
두 내분점 사이의 중점
“
내분점과 중점 공식을 순차적으로 적용하는, 두 단계로 이루어진 계산 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]먼저, 두 점 A, B의 좌표와 2:1이라는 비율을 이용해 선분 AB의 내분점 P의 좌표를 구합니다. [cite: 1454-1455]
2. 그 다음, 앞에서 구한 점 P의 좌표와 점 A의 좌표를 이용해 선분 AP의 중점 C의 좌표를 구합니다.
3. 문제에서 요구하는 a+b의 값을 계산합니다.
주의할 점:
첫 번째 단계에서 구한 점 P의 좌표를 정확하게 구하는 것이 중요합니다. 한 단계의 실수가 다음 단계의 결과에 직접적인 영향을 미칩니다.
”
내분점과 중점의 좌표
“
수직선 위의 내분점 좌표를 구하는 공식을 정확하게 알고 있는지 묻는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표를 구하는 공식을 사용합니다.
2. 공식에 따라 비율과 각 점의 좌표를 엇갈려서 곱한 뒤 더하고, 전체 비율의 합으로 나누어 줍니다.
3. 계산을 정확히 하여 답을 구합니다.
주의할 점:
공식의 형태, 특히 분모는 비율의 합(m+n), 분자는 엇갈려 곱한 값의 합(mx₂+nx₁)이라는 점을 명확히 기억해야 합니다.
”
수직선 위 내분점 좌표
“
두 내분점 사이의 거리를 원래 선분의 길이의 비율로 표현하여 해결하는 문제입니다. 직관적인 이해가 중요합니다.
접근법:
1. 선분 AB의 길이를 1이라고 가정합니다.
2. 점 P는 1:4 내분점이므로, A로부터 전체 길이의 1/5 만큼 떨어진 곳에 있습니다.
3. 점 Q는 7:3 내분점이므로, A로부터 전체 길이의 7/10 만큼 떨어진 곳에 있습니다.
4. [cite_start]따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는 A로부터의 거리의 차, 즉 (7/10 – 1/5) 만큼이며, 이는 전체 길이의 1/2에 해당합니다. [cite: 1435]
주의할 점:
각 내분점이 전체 선분을 기준으로 어느 위치에 있는지 분수로 표현할 수 있으면, 실제 좌표를 계산하지 않고도 빠르고 쉽게 풀 수 있습니다.
”
내분점 사이의 거리를 분수로 표현
“
내분점의 좌표를 미지수를 포함한 식으로 나타내고, 두 내분점 사이의 거리를 이용해 원래 미지수의 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 3:1로 내분하는 점 P의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 선분 AB를 1:3으로 내분하는 점 Q의 좌표도 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 두 점 P, Q 사이의 거리는 두 좌표의 차의 절댓값입니다. 이 거리가 6이라는 등식을 세웁니다.
4. 절댓값을 포함한 방정식을 풀어 a의 값을 구하고, ‘양수’라는 조건에 맞는 답을 선택합니다.
주의할 점:
수직선 위 두 점 사이의 거리는 ‘큰 좌표 – 작은 좌표’ 또는 ‘좌표의 차에 절댓값’을 씌워 구합니다. 절댓값 방정식의 해는 양수와 음수 두 가지 경우가 나온다는 점을 잊지 마세요.
”
수직선 위 내분점 거리와 미지수
“
수직선 위의 두 점에 대한 내분점과 중점의 좌표를 구하는 공식을 정확히 사용하는지 확인하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB를 3:2로 내분하는 점 P의 좌표를 내분점 공식을 이용해 구합니다.
2. 선분 AB를 2:3으로 내분하는 점 Q의 좌표를 내분점 공식을 이용해 구합니다.
3. 앞에서 구한 두 점 P와 Q의 중점 M의 좌표를 중점 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
내분점 공식에서 비율과 좌표를 엇갈려 곱하는 순서를 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다. 수직선 위의 공식은 x좌표 공식과 동일합니다.
”
수직선 위 내분점과 중점
“
여러 개의 조건을 종합하여 수직선 위에 표현되지 않은 점들의 위치를 추론하고 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 점 B(1), D(5)를 기준으로 나머지 점들의 좌표를 순서대로 찾습니다.
2. (나) 조건에서 점 C는 선분 AD를 2:1로 내분하므로, C의 좌표를 이용해 A의 좌표를 찾을 수 있습니다.
3. (가) 조건에서 점 B는 선분 AC의 중점이므로, A와 C의 좌표를 이용해 B의 좌표가 1이 맞는지 검산하거나, B와 C를 이용해 A를 찾을 수 있습니다.
4. (다) 조건에서 점 D는 선분 CE의 중점이므로, C와 D의 좌표를 이용해 E의 좌표를 찾습니다.
주의할 점:
각 조건에서 어떤 점이 기준이고 어떤 점이 내분점(또는 중점)인지 주어를 명확히 구분해야 실수를 줄일 수 있습니다.
”
수직선 위 내분점/중점 좌표 계산
“
수직선 위의 내분점과 중점의 개념을 그림을 통해 직관적으로 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 그림에서 각 점 사이의 간격이 모두 동일하다는 것을 파악합니다. 이 간격을 1이라고 가정하고 각 점에 상대적인 좌표를 부여하면 이해하기 쉽습니다. (예: P=0, Q=1, A=2 …)
2. 보기의 각 문장이 맞는지 확인합니다.
ㄱ. P와 R의 한가운데에 A가 있는지 확인합니다.
ㄴ. 점 Q가 선분 PB를 1:2로 나누는 점인지 확인합니다.
ㄷ. 점 R이 선분 AS를 2:1로 나누는 점인지 확인합니다.
주의할 점:
내분점을 ‘m:n으로 내분한다’는 것은 해당 점으로부터의 거리의 비가 m:n이라는 의미입니다. 기준이 되는 두 점을 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.
”
수직선 위 내분점/중점 이해
