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좌표에 포함된 미지수 t의 값에 따라 변하는 선분의 길이를 이차함수로 해석하여 최솟값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B 사이의 거리를 구하는 식을 세웁니다.
2. 문제에서는 ‘길이의 제곱’의 최솟값을 묻고 있으므로, 루트를 제거한 식을 전개하여 t에 대한 이차식을 만듭니다.
3. 이 이차식을 완전제곱식 형태로 변형하여 이차함수의 꼭짓점을 찾습니다.
4. 꼭짓점의 y좌표가 바로 길이의 제곱의 최솟값이 됩니다.
주의할 점:
최솟값을 가질 때의 t의 값을 묻는지, 아니면 최솟값 자체를 묻는지 정확히 파악해야 합니다. 이 문제는 최솟값을 구하라고 요구하고 있습니다.
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선분 길이 제곱의 최솟값 구하기
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두 점 사이의 거리 공식을 활용하는 가장 기본적인 유형이지만, ‘양수’라는 특정 조건이 추가된 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 A, B 사이의 거리를 구하는 공식을 세우고, 그 값이 문제에서 주어진 거리와 같다고 등식을 만듭니다.
2. 양변을 제곱하여 루트를 없애고 식을 정리하면 미지수 a에 대한 이차방정식이 됩니다.
3. 이차방정식을 풀어 두 개의 해를 구한 뒤, 문제에서 제시된 ‘양수’ 조건에 맞는 값만을 답으로 선택합니다.
주의할 점:
이차방정식을 풀고 나온 해를 무심코 모두 답으로 생각하는 실수를 피해야 합니다. 문제의 마지막 부분에 붙는 작은 조건 하나가 정답을 결정짓는 경우가 많습니다.
”
거리공식으로 양수 좌표 구하기
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주어진 좌표를 단서로 하여, 그림 위에 나타나지 않은 점들의 좌표를 논리적으로 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A의 좌표가 (0, 2)이므로 첫 번째 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는 2임을 알 수 있습니다. 이를 통해 점 B의 좌표를 구할 수 있습니다.
2. 점 D의 y좌표가 8이므로 가장 큰 정사각형의 한 변의 길이는 8입니다.
3. 가장 큰 정사각형의 x좌표와 한 변의 길이를 이용해 점 C의 x좌표를 역으로 추론할 수 있습니다.
4. 찾아낸 점 B와 점 C의 좌표를 이용해 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
각 정사각형의 변의 길이가 x축 또는 y축과 평행하다는 점을 인지해야 좌표를 쉽게 설정할 수 있습니다. 그림에 현혹되지 말고 좌표의 의미를 정확히 해석해야 합니다.
”
연속된 정사각형과 두 점의 거리
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정사각형의 성질과 두 점 사이의 거리 공식을 함께 활용하는 도형 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형의 대각선은 길이가 같다는 성질을 이용합니다.
2. 원점 O와 점 B의 좌표를 알고 있으므로, 두 점 사이의 거리를 구해 대각선의 길이를 찾습니다.
3. 정사각형의 한 변의 길이를 미지수로 두고 피타고라스 정리를 적용하면, (한 변의 길이)² + (한 변의 길이)² = (대각선의 길이)² 이 성립합니다.
4. 이를 통해 정사각형의 넓이, 즉 (한 변의 길이)² 값을 바로 구할 수 있습니다.
주의할 점:
대각선의 길이를 한 변의 길이로 착각하는 실수를 피해야 합니다. 정사각형의 넓이는 대각선 길이의 제곱을 2로 나눈 값과 같다는 공식을 활용할 수도 있습니다.
”
대각선 좌표로 정사각형 넓이 구하기
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두 선분의 길이가 일정한 비례 관계를 가질 때, 미지수의 값을 찾는 응용문제입니다.
접근법:
1. 선분 AC의 길이와 선분 BC의 길이를 각각 거리 공식으로 표현합니다.
2. 문제의 조건에 따라 등식을 세웁니다. 이때 계산을 쉽게 하기 위해 양변을 제곱하여 루트를 없애는 것이 효율적입니다.
3. 식을 정리하면 미지수 a에 대한 이차방정식이 나타나며, 모든 실수의 합을 구하기 위해 근과 계수의 관계를 적용합니다.
주의할 점:
단순히 두 길이가 같다고 착각하지 않도록 문제의 비례 관계를 정확히 식으로 옮겨야 합니다. 제곱할 때 비례 상수(숫자)도 함께 제곱하는 것을 잊지 마세요.
”
두 거리의 비례식과 미지수
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두 점 사이의 거리가 ‘4 이하’가 되도록 하는 조건을 다루므로, 거리 공식을 이차부등식으로 풀어내는 문제입니다.
접근법:
1. 두 점 사이의 거리를 구하는 식을 세우고, 4보다 작거나 같다는 부등식을 만듭니다.
2. 계산의 편의를 위해 양변을 제곱하여 루트를 제거한 이차부등식을 만듭니다.
3. 이차부등식을 풀어 미지수 a의 범위를 구합니다.
4. 해당 범위에 포함되는 정수의 개수를 정확하게 세어 답을 구합니다.
주의할 점:
부등식을 풀 때 부등호의 방향이 바뀌지 않도록 주의해야 합니다. 특히, 마지막에 정수 개수를 셀 때 범위의 양 끝 값이 포함되는지(등호의 유무)를 반드시 확인해야 합니다.
”
거리 조건 만족하는 정수 개수
안녕하세요! **마플시너지 공통수학2** 1번 문제 풀이를 시작하겠습니다. 이 문제는 좌표평면 위 ‘두 점 사이의 거리’ 공식을 정확히 알고 있는지 확인하는, 아주 중요한 기본 유형 문제입니다. 공식만 알면 전혀 어렵지 않으니 차근차근 따라오세요!
문제: 두 점 A(3, 3), B(a, -2) 사이의 거리가 $5\sqrt{2}$일 때, 이를 만족하는 모든 실수 a의 값의 합을 구하시오.
본격적으로 문제를 풀기 전에, 가장 중요한 핵심 개념인 ‘두 점 사이의 거리’ 공식을 먼저 복습해 보겠습니다. 이 공식은 피타고라스의 정리에서 유래되었답니다!
두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$ 사이의 거리 $d$를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
먼저, 주어진 두 점 A(3, 3)과 B(a, -2)를 공식에 그대로 대입해 보겠습니다. 거리는 $5\sqrt{2}$라고 문제에 나와있죠?
$5\sqrt{2} = \sqrt{(a – 3)^2 + (-2 – 3)^2}$
루트(√)가 있으면 계산이 복잡하니, 등식의 양변을 제곱해서 루트를 없애주겠습니다. 좌변과 우변을 각각 제곱하면 다음과 같습니다.
$(5\sqrt{2})^2 = (\sqrt{(a – 3)^2 + (-2 – 3)^2})^2$
$25 \times 2 = (a – 3)^2 + (-5)^2$
$50 = (a – 3)^2 + 25$
이제 25를 좌변으로 이항하여 정리합니다.
$25 = (a – 3)^2$
거의 다 왔습니다! 제곱해서 25가 되는 수는 $+5$와 $-5$, 두 개가 있습니다. 이 두 가지 경우를 모두 계산해야 합니다.
따라서, 이를 만족하는 a의 값은 8과 -2입니다.
여기서 실수하면 안 됩니다! 문제는 a의 값을 모두 구하라는 것이 아니라, ‘모든 실수 a의 값의 합’을 구하라고 했습니다. 따라서 우리가 구한 두 값을 더해주어야 합니다.
$8 + (-2) = 6$
핵심 요약: 이 문제의 풀이 과정은 ①두 점 사이의 거리 공식을 쓰고, ②양변을 제곱하여 정리한 뒤, ③이차방정식의 두 근을 구해, ④문제의 요구에 맞게 두 근의 합을 구하는 것입니다.
⚠️ 자주 하는 실수 짚어주기
많은 학생들이 (a-3)² = 25에서 a-3 = 5 하나만 생각하고 a=8이라고만 답을 내는 실수를 합니다. 제곱해서 양수가 되는 값은 항상 양수와 음수, 두 개가 있다는 점을 절대 잊지 마세요!
🚀 Pro Tip! (근과 계수의 관계)
$(a – 3)^2 = 25$를 전개하면 $a^2 – 6a + 9 = 25$, 즉 $a^2 – 6a – 16 = 0$ 입니다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해, 두 근의 합은 $-(\frac{-6}{1}) = 6$ 으로 바로 구할 수도 있답니다.
이 문제가 완벽하게 이해됐다면, 비슷한 공식을 사용하는 마플시너지 공통수학2 2번 문제에도 도전해보세요!
