마플시너지 공통수학2 1번 답지, 해설 및 ‘두 점 사이의 거리’ 개념 총정리
🚀 도입: 문제 제시 및 길잡이
안녕하세요! **마플시너지 공통수학2** 1번 문제 풀이를 시작하겠습니다. 이 문제는 좌표평면 위 ‘두 점 사이의 거리’ 공식을 정확히 알고 있는지 확인하는, 아주 중요한 기본 유형 문제입니다. 공식만 알면 전혀 어렵지 않으니 차근차근 따라오세요!
문제: 두 점 A(3, 3), B(a, -2) 사이의 거리가 $5\sqrt{2}$일 때, 이를 만족하는 모든 실수 a의 값의 합을 구하시오.
📘 핵심 개념 정리: 두 점 사이의 거리 공식
본격적으로 문제를 풀기 전에, 가장 중요한 핵심 개념인 ‘두 점 사이의 거리’ 공식을 먼저 복습해 보겠습니다. 이 공식은 피타고라스의 정리에서 유래되었답니다!
두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$ 사이의 거리 $d$를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
📝 단계별 상세 풀이
1단계: 공식에 주어진 값 대입하기
먼저, 주어진 두 점 A(3, 3)과 B(a, -2)를 공식에 그대로 대입해 보겠습니다. 거리는 $5\sqrt{2}$라고 문제에 나와있죠?
$5\sqrt{2} = \sqrt{(a – 3)^2 + (-2 – 3)^2}$
2단계: 식 정리하기 (루트 없애기)
루트(√)가 있으면 계산이 복잡하니, 등식의 양변을 제곱해서 루트를 없애주겠습니다. 좌변과 우변을 각각 제곱하면 다음과 같습니다.
$(5\sqrt{2})^2 = (\sqrt{(a – 3)^2 + (-2 – 3)^2})^2$
$25 \times 2 = (a – 3)^2 + (-5)^2$
$50 = (a – 3)^2 + 25$
이제 25를 좌변으로 이항하여 정리합니다.
$25 = (a – 3)^2$
3단계: a 값 구하기
거의 다 왔습니다! 제곱해서 25가 되는 수는 $+5$와 $-5$, 두 개가 있습니다. 이 두 가지 경우를 모두 계산해야 합니다.
- 경우 1: $a – 3 = 5 \implies a = 8$
- 경우 2: $a – 3 = -5 \implies a = -2$
따라서, 이를 만족하는 a의 값은 8과 -2입니다.
4단계: 최종 답 구하기 (문제의 요구사항 확인!)
여기서 실수하면 안 됩니다! 문제는 a의 값을 모두 구하라는 것이 아니라, ‘모든 실수 a의 값의 합’을 구하라고 했습니다. 따라서 우리가 구한 두 값을 더해주어야 합니다.
$8 + (-2) = 6$
✅ 정답 및 요약
정답: 6
핵심 요약: 이 문제의 풀이 과정은 ①두 점 사이의 거리 공식을 쓰고, ②양변을 제곱하여 정리한 뒤, ③이차방정식의 두 근을 구해, ④문제의 요구에 맞게 두 근의 합을 구하는 것입니다.
💡 추가 정보: 더 알아보기
⚠️ 자주 하는 실수 짚어주기
많은 학생들이 (a-3)² = 25에서 a-3 = 5 하나만 생각하고 a=8이라고만 답을 내는 실수를 합니다. 제곱해서 양수가 되는 값은 항상 양수와 음수, 두 개가 있다는 점을 절대 잊지 마세요!
🚀 Pro Tip! (근과 계수의 관계)
$(a – 3)^2 = 25$를 전개하면 $a^2 – 6a + 9 = 25$, 즉 $a^2 – 6a – 16 = 0$ 입니다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해, 두 근의 합은 $-(\frac{-6}{1}) = 6$ 으로 바로 구할 수도 있답니다.
📚 연관 문제 추천
이 문제가 완벽하게 이해됐다면, 비슷한 공식을 사용하는 마플시너지 공통수학2 2번 문제에도 도전해보세요!
