[킬러 문항 분석] 마플 시너지 공통수학2 – 정삼각형의 좌표와 최소 거리 문제

본 포스팅에서는 ‘마플 시너지 공통수학2’ 문제집의 대표적 킬러 문항을 선정하여, 전문적이고 친절한 풀이를 제공합니다. 고난도 문제를 풀기 위해 어떤 개념을 떠올리고, 어떻게 접근해야 하는지 단계별로 안내합니다.

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[문제 분석 및 개념 이해]

주어진 문제는 좌표평면 위에 정삼각형 ABC를 그리고, 변 BC 위의 점 P에서 꼭짓점 A까지의 거리 제곱과 점 B까지의 거리 제곱 합을 최소로 만드는 점 P를 찾는 문제입니다. 이런 문제는 “좌표설정 → 거리의 제곱 식 표현 → 이차함수 완전제곱식 변형”의 순서로 접근해야 합니다.

[문제 조건]

• 정삼각형 ABC 한 변의 길이: 2a
• 점 B를 원점 O로 놓고, 직선 BC를 x축으로 설정
• 좌표 설정 결과: A(a, √3a), B(0,0), C(2a,0)

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[단계별 문제 풀이]

1단계: 점 P의 좌표 설정

점 P는 변 BC 위에 있으므로, 그 좌표를 (k,0)으로 설정합니다. (단, 0 ≤ k ≤ 2a)

2단계: 점 A와 B까지의 거리 제곱 식 작성

두 거리의 제곱의 합을 구합니다.

\[ \overline{AP}^2 + \overline{BP}^2 = (k-a)^2 + (\sqrt{3}a)^2 + k^2 \]

이를 정리하면

\[ = 2k^2 – 2ak + 4a^2 \]

다시 완전제곱식으로 변형하면

\[ = 2\left(k-\frac{1}{2}a\right)^2 + \frac{7}{2}a^2 \]

3단계: 거리 제곱의 합 최소값 구하기

완전제곱식을 통해 최소값은 완전제곱 부분이 0일 때임을 알 수 있습니다. 따라서, 최소값은

\[ k=\frac{1}{2}a \quad \text{일 때 달성됨} \]

4단계: 선분 BP와 CP의 길이 비율 확인

점 P가 BC 위를 내분하는 비율을 확인합니다.

• BP의 길이: \( \frac{1}{2}a \)
• CP의 길이: \( 2a – \frac{1}{2}a = \frac{3}{2}a \)

따라서, 비율은 \(\text{BP : CP = } 1 : 3\)이 됩니다.

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[다양한 접근법]

• 이차함수의 축 활용: 거리 제곱 합을 함수로 본 후, 이차함수의 축 공식을 이용해 최솟값 위치를 찾을 수도 있습니다.
• 기하학적 접근법: 좌표 없이 기하학적으로 접근하여 정삼각형 내부의 특정 점에서 거리 최소화를 유추할 수도 있습니다.

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[관련 핵심 개념 정리]

• 정삼각형의 좌표 설정법: 좌표평면에서 도형 문제 풀이 시 좌표 설정이 핵심입니다.
• 완전제곱식의 활용: 이차함수에서 최소 또는 최대값을 찾는 기본적이고 중요한 기법입니다.

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[추가 동영상 콘텐츠]

아래의 짧은 영상에서 실제 문제 풀이 과정을 더욱 생생하게 확인할 수 있습니다.

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본 포스팅은 고등수학 20년 차 전문가가 직접 작성하였으며, 구글 제미나이 울트라로 철저히 검수하였습니다.

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