“
원이 y축에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원이 y축에 접하면, |중심의 x좌표| = 반지름의 길이 라는 성질이 성립합니다.
2. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표와 반지름의 길이를 미지수 a, b를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 1단계의 성질을 이용해 식을 세우면, a와 b 사이의 관계식을 하나 얻을 수 있습니다.
4. 원이 점 (-2,4)를 지나므로, 좌표를 원의 방정식에 대입하여 두 번째 관계식을 얻습니다.
5. 두 관계식을 연립하여 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
x축에 접할 조건은 |중심의 y좌표|=반지름, y축에 접할 조건은 |중심의 x좌표|=반지름 입니다. 두 조건을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
y축에 접하는 원의 방정식
“
아폴로니우스의 원 위에서, 특정 각의 크기가 최대가 되는 순간의 선분의 길이를 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 점 P의 자취인 아폴로니우스의 원의 방정식을 구합니다.
2. 각 POA의 크기가 최대가 되는 순간은, **직선 OP가 원에 접할 때**입니다.
3. 이 상황은 원점 O를 원 밖의 한 점으로 보고, 원에 그은 접선의 접점이 P가 되는 상황과 같습니다.
4. 원의 중심 C, 원점 O, 접점 P는 직각삼각형 OCP를 이룹니다.
5. 피타고라스 정리를 이용해 접선의 길이, 즉 선분 OP의 길이를 구합니다.
주의할 점:
각의 크기가 최대가 되는 지점이 접점이라는 기하학적 통찰이 필요합니다. 그림을 그려서 위치 관계를 파악하면 이해에 도움이 됩니다.
”
아폴로니우스의 원과 각의 크기 최댓값
“
아폴로니우스의 원을 활용하여 삼각형 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B로부터 거리의 비가 2:3인 점 P의 자취, 즉 아폴로니우스의 원의 방정식을 구합니다.
2. 삼각형 ABP에서 선분 AB는 길이가 5로 고정되어 있으므로, 이 선분을 밑변으로 생각합니다.
3. 삼각형의 넓이가 최대가 되려면 **높이가 최대**여야 합니다.
4. 높이가 최대일 때는, 점 P가 밑변 AB로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때이며, 그 높이는 바로 **아폴로니우스의 원의 반지름의 길이**와 같습니다.
5. 밑변의 길이와 최대 높이(반지름)를 이용해 넓이의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
점 P의 자취가 원임을 파악하는 것이 첫 단계입니다. 고정된 밑변을 갖는 삼각형의 넓이가 최대/최소가 되는 지점은 원의 중심과 관련된 지점임을 이해해야 합니다.
”
아폴로니우스의 원과 삼각형 넓이 최댓값
“
두 정점으로부터의 거리의 비가 일정한 점 P가 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 이 자취는 아폴로니우스의 원이 됩니다.
접근법:
1. 점 P의 좌표를 (x,y)로 설정합니다.
2. 문제에 주어진 비례식 PA:PB = 2:1 을 등식 PA = 2PB 로 바꿉니다.
3. 양변을 제곱하여 PA² = 4PB² 으로 만들면 루트 없이 계산할 수 있습니다.
4. 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 식을 전개하고 정리하면 x,y에 대한 이차방정식이 나옵니다.
5. 이 식을 표준형으로 변환하여 원의 중심 (a,b)와 반지름의 제곱(c)을 찾습니다.
주의할 점:
아폴로니우스의 원의 지름의 양 끝점은, 두 정점을 주어진 비율로 내분하는 점과 외분하는 점이 된다는 성질을 이용하면 더 빠르게 중심과 반지름을 구할 수 있습니다.
”
거리의 비가 일정한 점의 자취 (아폴로니우스의 원)
“
352번 문제와 동일한 유형으로, 삼각형의 무게중심의 자취를 구하고, 그 자취(원)의 넓이를 이등분하는 직선의 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 삼각형 ABP의 무게중심 G가 그리는 자취의 방정식을 구합니다. 이 자취는 중심이 이동하고 반지름이 1/3로 축소된 새로운 원이 됩니다.
2. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 그 원의 중심을 지나야 합니다.
3. 1단계에서 구한 새로운 원(자취)의 중심 좌표를 찾습니다.
4. 이 중심의 좌표를 주어진 직선의 방정식에 대입하여 미지수 k의 값을 구합니다.
주의할 점:
무게중심의 자취가 되는 원의 중심과 반지름을 빠르고 정확하게 구하는 것이 중요합니다. 자취의 중심은 (A+B+C)/3 (C는 원래 원의 중심) 이 됩니다.
”
무게중심의 자취와 넓이 이등분선
“
한 점이 원 위를 움직일 때, 그 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이 그리는 도형(자취)의 넓이를 구하는 문제입니다. 351번 문제와 원리가 동일합니다.
접근법:
1. 구하려는 무게중심 G의 좌표를 (x,y), 움직이는 꼭짓점 A의 좌표를 (a,b)로 설정합니다.
2. 무게중심 공식을 이용해 a와 b를 각각 x와 y에 대한 식으로 표현합니다.
3. 점 A(a,b)는 주어진 원 위의 점이므로, 원의 방정식에 a,b를 대입하면 성립합니다.
4. 이 원의 방정식에 2단계에서 구한 식을 대입하여 a,b를 소거하면 무게중심 G가 그리는 새로운 원의 방정식이 나옵니다.
5. 이 새로운 원의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
무게중심의 자취 또한 원래 원과 닮음인 원이 되며, 반지름의 길이는 원래 원의 1/3이 됩니다.
”
무게중심의 자취의 넓이 구하기
“
정점과 원 위의 동점을 잇는 선분의 중점이 그리는 도형, 즉 자취의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 중점의 좌표를 (x,y), 원 위의 점 P의 좌표를 (a,b)로 설정합니다.
2. 중점 공식을 이용해 a와 b를 각각 x와 y에 대한 식으로 표현합니다. (예: a=2x+4)
3. 점 P(a,b)는 원래 원 위의 점이므로, 원의 방정식에 a,b를 대입하면 성립합니다.
4. 이 원의 방정식에 2단계에서 구한 식을 대입하여 a,b를 소거하면, x와 y에 대한 새로운 원의 방정식이 만들어집니다.
5. 문제에서 요구하는 ‘도형의 길이’는 이 새로운 원의 둘레의 길이입니다.
주의할 점:
이러한 중점의 자취는 항상 원래 원과 닮음인 원이 되며, 반지름의 길이는 원래 원의 절반이 됩니다. 이 성질을 알고 있으면 검산에 유용합니다.
”
선분 중점의 자취의 방정식
“
349번 문제와 유사한, 원의 방정식에 대한 종합적인 이해를 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 첫 번째 원의 중심을 구하고, 이 중심과 주어진 점을 지름의 양 끝점으로 하는 새로운 원의 방정식을 구하여 비교합니다.
2. (보기 ㄴ) 두 번째 방정식이 원이 되기 위한 조건(반지름² > 0)을 풀어 정수 k의 개수를 구합니다.
3. (보기 ㄷ) 네 점이 한 원 위에 있으므로, 미지수가 없는 세 점을 지나는 원의 방정식을 먼저 구한 뒤, 나머지 한 점을 대입하여 k값을 확인합니다.
주의할 점:
각 보기에서 다른 유형의 문제를 물어보고 있습니다. 지름의 양 끝점, 원이 될 조건, 네 점이 한 원 위에 있을 조건 등 다양한 개념을 모두 알고 있어야 합니다.
”
원의 방정식 종합 개념 참/거짓 판별
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원의 방정식의 여러 기본 개념에 대한 참/거짓을 판별하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) 첫 번째 원을 표준형으로 바꿔 중심을 찾고, 이 중심과 점 (-3,1) 사이의 거리를 구해 반지름이 맞는지 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) 두 번째 원을 표준형으로 바꿔 반지름의 제곱을 k에 대한 식으로 나타냅니다. 반지름이 3이므로, 반지름의 제곱이 9가 되도록 하는 k값을 구합니다.
3. (보기 ㄷ) 세 번째 방정식이 원이 되기 위한 조건, 즉 (반지름)² > 0 이라는 부등식을 풀어 정수 a의 개수를 셉니다.
주의할 점:
원의 방정식을 일반형에서 표준형으로 빠르고 정확하게 변환하는 능력이 필수적입니다.
”
원의 방정식 기본 개념 종합 판별
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세 직선으로 만들어지는 삼각형의 외접원의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 직선의 교점을 각각 구하여, 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 찾습니다.
2. 이 문제는 주어진 직선 중 두 개가 서로 **수직**임을 파악하는 것이 중요합니다. 이는 삼각형이 **직각삼각형**임을 의미합니다.
3. 직각삼각형의 외심(외접원의 중심)은 **빗변의 중점**에 위치합니다.
4. 빗변의 양 끝점 좌표를 이용해 중점을 구해 원의 중심을 찾고, 중심과 한 꼭짓점 사이의 거리를 구해 반지름을 찾습니다.
주의할 점:
세 점을 지나는 원 문제를 풀기 전에, 세 점이 직각삼각형을 이루는지 변의 길이나 기울기를 통해 먼저 확인하는 습관을 들이면 풀이를 크게 단축할 수 있습니다.
”
세 직선으로 만들어진 직각삼각형의 외접원
