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[문제 355] 핵심 개념 및 풀이 전략

아폴로니우스의 원을 활용하여 삼각형 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 먼저 두 점 A, B로부터 거리의 비가 2:3인 점 P의 자취, 즉 아폴로니우스의 원의 방정식을 구합니다.
2. 삼각형 ABP에서 선분 AB는 길이가 5로 고정되어 있으므로, 이 선분을 밑변으로 생각합니다.
3. 삼각형의 넓이가 최대가 되려면 **높이가 최대**여야 합니다.
4. 높이가 최대일 때는, 점 P가 밑변 AB로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때이며, 그 높이는 바로 **아폴로니우스의 원의 반지름의 길이**와 같습니다.
5. 밑변의 길이와 최대 높이(반지름)를 이용해 넓이의 최댓값을 구합니다.

주의할 점:
점 P의 자취가 원임을 파악하는 것이 첫 단계입니다. 고정된 밑변을 갖는 삼각형의 넓이가 최대/최소가 되는 지점은 원의 중심과 관련된 지점임을 이해해야 합니다.

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아폴로니우스의 원과 삼각형 넓이 최댓값