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[문제 352] 핵심 개념 및 풀이 전략

한 점이 원 위를 움직일 때, 그 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이 그리는 도형(자취)의 넓이를 구하는 문제입니다. 351번 문제와 원리가 동일합니다.

접근법:
1. 구하려는 무게중심 G의 좌표를 (x,y), 움직이는 꼭짓점 A의 좌표를 (a,b)로 설정합니다.
2. 무게중심 공식을 이용해 a와 b를 각각 x와 y에 대한 식으로 표현합니다.
3. 점 A(a,b)는 주어진 원 위의 점이므로, 원의 방정식에 a,b를 대입하면 성립합니다.
4. 이 원의 방정식에 2단계에서 구한 식을 대입하여 a,b를 소거하면 무게중심 G가 그리는 새로운 원의 방정식이 나옵니다.
5. 이 새로운 원의 넓이를 구합니다.

주의할 점:
무게중심의 자취 또한 원래 원과 닮음인 원이 되며, 반지름의 길이는 원래 원의 1/3이 됩니다.

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무게중심의 자취의 넓이 구하기