“
x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 직선 위에 있을 조건을 만족하는 두 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심은 반드시 직선 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다.
2. (경우 1) 원의 중심이 y=x 위에 있을 때: 중심을 (r,r)로 두고, 이 점이 주어진 직선 2x+y-3=0 위에 있다고 하여 r값을 구합니다.
3. (경우 2) 원의 중심이 y=-x 위에 있을 때: 중심을 (r,-r)로 두고, 이 점이 주어진 직선 위에 있다고 하여 r값을 구합니다.
4. 두 경우에서 나온 두 원의 반지름을 이용해 각각의 둘레 길이를 구하고 합합니다.
주의할 점:
x,y축 동시 접촉 원의 중심은 y=x 또는 y=-x 위에 있다는 핵심 성질을 이용하면, 문제를 두 가지 간단한 경우로 나누어 풀 수 있습니다.
”
x축, y축 동시 접촉 원의 둘레의 합
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x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 직선 위에 있을 때의 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제4사분면에 있고 x,y축에 동시에 접하므로, 중심 좌표를 (r, -r) (r>0) 로 설정할 수 있습니다.
2. 이 중심이 직선 2x+y=4 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 반지름 r의 값을 구합니다.
3. 반지름과 중심 좌표가 모두 확정되었으므로, 원의 방정식을 완성하고 일반형으로 변환하여 계수를 비교합니다.
주의할 점:
중심이 어느 사분면에 있는지에 따라 중심 좌표 설정( (r,r), (-r,r), (-r,-r), (r,-r) )이 달라진다는 점을 명확히 인지해야 합니다.
”
x축, y축 동시 접촉과 중심이 직선 위
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주어진 원이 x축과 y축에 동시에 접할 조건을 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 미지수를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 원이 x축과 y축에 동시에 접하려면, |중심의 x좌표| = |중심의 y좌표| = 반지름의 길이 라는 세 가지 조건이 모두 성립해야 합니다.
3. 이 관계를 이용해 연립방정식을 세워 미지수 a, b 값을 구합니다. (a>0 이라는 조건 활용)
주의할 점:
세 값이 모두 같다는 조건(|x좌표|=|y좌표|=r)을 정확하게 적용하는 것이 핵심입니다. 이 중 두 개만 같다고 풀면 오류가 생길 수 있습니다.
”
x축, y축에 동시에 접할 조건
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x축과 y축에 동시에 접하는 원이 특정 점을 지날 때, 두 원의 중심 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (1,2)는 제1사분면에 있으므로, 구하는 원 또한 제1사분면에서 축에 접합니다.
2. 원의 중심은 (r, r) 이고 반지름은 r 입니다. 원의 방정식은 (x-r)²+(y-r)²=r² 입니다.
3. 이 원이 점 (1,2)를 지나므로, 좌표를 대입하면 r에 대한 이차방정식이 만들어집니다.
4. 이차방정식을 풀면 두 개의 해 r₁, r₂가 나오는데, 이는 조건을 만족하는 원이 두 개임을 의미합니다.
5. 두 원의 중심은 각각 (r₁, r₁), (r₂, r₂) 입니다. 이 두 점 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
주어진 점의 위치를 통해 원의 중심이 어느 사분면에 있는지 먼저 파악해야 중심 좌표를 올바르게 설정할 수 있습니다.
”
x축, y축에 동시에 접하는 원 (1사분면)
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일반적인 삼각형의 내심을 찾고, 원점과의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점입니다. 계산이 복잡하므로, 다른 방법을 생각합니다.
2. 내심의 좌표를 (a,b), 내접원의 반지름을 r이라 하면, 내심에서 세 변(세 직선)까지의 거리는 모두 r로 같습니다.
3. 세 변을 포함하는 직선의 방정식을 각각 구합니다.
4. 점 (a,b)에서 세 직선까지의 거리가 모두 같다는 연립방정식을 풀어 a,b를 구합니다.
5. (더 효율적인 방법) 삼각형의 넓이 공식을 활용합니다. 넓이 S = 1/2 * r * (세 변의 길이의 합)
주의할 점:
일반 삼각형의 내심 좌표를 구하는 것은 계산이 매우 복잡합니다. 각의 이등분선 방정식을 두 개 구해서 연립하는 것이 정석적인 방법 중 하나입니다.
”
세 직선 교점으로 만든 삼각형의 내심
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삼각형의 내접원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 세 변의 길이를 구합니다. 이 삼각형은 정삼각형임을 알 수 있습니다.
2. 정삼각형은 외심, 내심, 무게중심이 모두 일치합니다.
3. 따라서 내심(원의 중심)의 좌표는 무게중심 공식을 이용해 쉽게 구할 수 있습니다.
4. 내접원의 반지름은, 정삼각형 높이의 1/3 입니다. 높이를 구해 반지름을 찾습니다. (또는, 중심과 한 변 사이의 거리를 구해도 됩니다.)
5. 중심과 반지름으로 원의 방정식을 완성합니다.
주의할 점:
주어진 삼각형이 어떤 종류인지 먼저 파악하는 것이 중요합니다. 정삼각형이나 직각삼각형 같은 특수한 삼각형은 내심이나 외심을 더 쉽게 구할 수 있는 성질이 있습니다.
”
정삼각형의 내접원의 방정식
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y축에 접하고, 중심이 특정 직선 위에 있으며, 한 점을 지나는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 중심이 직선 y=x+1 위에 있으므로, 중심을 (a, a+1)로 설정합니다.
2. 원이 y축에 접하므로, 반지름 r = |중심의 x좌표| = |a| 입니다.
3. 이제 원의 방정식은 (x-a)² + (y-a-1)² = a² 형태로, 미지수 a 하나만 남습니다.
4. 이 원이 점 (3,2)를 지나므로, 좌표를 대입하여 a에 대한 이차방정식을 풉니다.
5. 두 개의 a값이 나오며, 이는 두 개의 원이 존재함을 의미합니다. 각 원의 반지름(|a|)을 구해 합을 구합니다.
주의할 점:
여러 조건을 종합하여 미지수의 개수를 하나씩 줄여나가는 과정이 중요합니다. a에 대한 이차방정식이 나온다는 것은 조건을 만족하는 원이 두 개일 수 있음을 암시합니다.
”
y축에 접하고 중심이 직선 위에 있는 원
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y축에 접하고, 중심이 특정 직선 위에 있는 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원이 점 (-1,0)에서 y축에 접하므로, 중심의 x좌표는 -1이고, 반지름의 길이는 |-1|=1 입니다.
2. 이제 원의 중심은 (-1, b) 형태로, 미지수가 하나만 남습니다.
3. 중심 (-1, b)가 직선 x-y+4=0 위에 있다고 했으므로, 좌표를 대입하여 b값을 구합니다.
4. 중심과 반지름이 모두 확정되었으므로, 원의 방정식을 완성하고 계수를 비교합니다.
주의할 점:
‘점 (a,b)에서 x축(또는 y축)에 접한다’는 조건은 중심의 y좌표(또는 x좌표)와 반지름을 동시에 알려주는 매우 강력한 힌트입니다.
”
특정 점에서 y축에 접하는 원
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x축에 접하고, 넓이가 주어졌으며, 특정 점을 지나는 원의 중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 넓이가 16π이므로 반지름 r=4 임을 알 수 있습니다.
2. 원이 x축에 접하고 중심이 제4사분면에 있으므로, 중심의 좌표를 (a, -4) 로 설정할 수 있습니다.
3. 이제 원의 방정식은 중심 (a,-4)와 반지름 4를 이용하여 세울 수 있습니다.
4. 이 원이 점 (0,-3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 a에 대한 방정식을 풀면 중심이 확정됩니다.
주의할 점:
중심이 어느 사분면에 있는지에 따라, x축 또는 y축에 접할 때 중심 좌표의 부호가 결정됩니다. (4사분면에서 x축 접촉 -> 중심 y좌표 = -r)
”
x축에 접하는 원의 중심 찾기
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원이 x축에 접할 조건과 중심의 위치(사분면)를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원이 x축에 접하면, |중심의 y좌표| = 반지름의 길이 라는 성질이 성립합니다.
2. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표와 반지름을 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 1단계의 성질을 이용해 k에 대한 방정식을 세웁니다.
4. 방정식을 풀면 k값이 두 개가 나오는데, ‘중심이 제3사분면에 있다’는 조건을 만족하는 k값을 선택합니다. (중심의 x, y좌표가 모두 음수여야 함)
주의할 점:
원의 중심 좌표가 (-1, -k)이므로, 제3사분면에 있으려면 -k0 이어야 한다는 점을 놓치지 말아야 합니다.
”
x축에 접하고 중심이 3사분면인 원
