“
두 원의 교점과 또 다른 한 점을 지나는 새로운 원의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점을 지나는 무수히 많은 원들은 **(원1) + k(원2) = 0** (단, k≠-1) 형태로 표현할 수 있습니다.
2. 이 원이 점 (1,0)을 지난다고 했으므로, 좌표를 대입하여 k값을 먼저 구합니다.
3. 구한 k값을 다시 원래 식에 대입하여 새로운 원의 방정식을 완성합니다.
4. 완성된 방정식을 표준형으로 변환하여 반지름을 찾고, 원의 넓이(πr²)를 계산합니다.
주의할 점:
두 원의 교점을 직접 구하는 것은 매우 복잡합니다. 반드시 (원1) + k(원2) = 0 이라는 ‘원의 군(family of circles)’ 개념을 이용하여 풀어야 합니다.
”
두 원의 교점과 한 점을 지나는 원
“
한 원이 다른 원의 둘레를 이등분할 때의 반지름을 구하는 문제입니다. 374번 문제와 동일한 원리를 사용합니다.
접근법:
1. 원 O가 원 O’의 둘레를 이등분하므로, 두 원의 공통현은 원 O’의 지름이 됩니다.
2. 이는 공통현이 원 O’의 중심 (1,1)을 지난다는 것을 의미합니다.
3. 두 원의 방정식을 빼서 공통현의 방정식을 구합니다. 이 식은 미지수 r을 포함하게 됩니다.
4. 원 O’의 중심 (1,1)의 좌표를 공통현의 방정식에 대입하여 r에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
어떤 원이 어떤 원의 둘레를 이등분하는지 주체를 명확히 구분해야 합니다. 이등분 ‘당하는’ 원의 중심을 공통현이 지나갑니다.
”
둘레를 이등분할 때의 반지름 구하기
“
원을 접었을 때의 상황을 해석하여 접는 선(직선)의 방정식을 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원을 접어서 생긴 호 PQ는, 원래 원과 반지름이 같고 새로운 중심을 갖는 원의 일부입니다.
2. 접힌 부분이 x축 위의 점(-1,0)에서 접하므로, 새로운 원은 중심의 x좌표가 -1이고 반지름이 원래 원과 같은 3인 원입니다. 또한 x축에 접하므로 중심의 y좌표는 3 또는 -3입니다. 그림상 y좌표는 3입니다. 즉, 새로운 원의 중심은 (-1,3)입니다.
3. 이제 새로운 원의 방정식을 세울 수 있습니다.
4. 접는 선인 직선 PQ는 **원래 원과 새로운 원의 공통현**입니다.
5. 두 원의 방정식을 빼서 공통현의 방정식, 즉 직선 PQ의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
접었을 때 생기는 새로운 호 또한 원의 일부이며, 접기 전의 원과 반지름이 같다는 점을 이용해 새로운 원을 설정하는 것이 핵심입니다.
”
원을 접었을 때 생기는 공통현의 방정식
“
한 원이 다른 원의 둘레를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 C₁이 원 C₂의 둘레를 이등분하려면, 두 원의 교점을 잇는 공통현이 바로 원 C₂의 지름이 되어야 합니다.
2. 이는 두 가지 조건을 의미합니다: (1) 공통현이 원 C₂의 중심을 지난다. (2) 공통현의 길이가 지름과 같다.
3. 이 문제에서는 (1)번 조건만으로 해결 가능합니다. 두 원의 공통현의 방정식을 구합니다.
4. 이 공통현이 원 C₂의 중심을 지나야 하므로, C₂의 중심 좌표를 공통현의 방정식에 대입하여 미지수 a를 구합니다.
주의할 점:
‘둘레를 이등분한다’는 것은 ‘공통현이 지름이다’라는 의미이고, 이는 ‘공통현이 그 원의 중심을 지난다’는 조건으로 이어집니다.
”
한 원이 다른 원의 둘레를 이등분할 조건
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두 원의 공통현이 다른 원의 넓이를 이등분할 때의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 그 직선은 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
2. 먼저 두 원 C₁, C₂의 공통현의 방정식을 구합니다.
3. 이 공통현이 원 C₂의 넓이를 이등분하므로, 원 C₂의 중심을 지나야 합니다.
4. 원 C₂의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심의 좌표를 찾습니다.
5. 4단계에서 구한 중심의 좌표를 2단계에서 구한 공통현의 방정식에 대입하여 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
‘넓이를 이등분한다’는 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
공통현이 다른 원의 넓이를 이등분할 때
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두 원의 공통현이 다른 직선과 수직일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 방정식을 각각 일반형으로 전개합니다.
2. 한 방정식에서 다른 방정식을 빼서 공통현의 방정식을 구합니다.
3. 이 공통현과 직선 x-3y=4가 수직이므로, 두 직선의 기울기의 곱이 -1이 되어야 합니다.
4. 각 직선의 기울기를 구해 곱이 -1이라는 등식을 세워 미지수 a값을 찾습니다.
주의할 점:
371번의 ‘평행’ 조건이 ‘수직’ 조건으로 바뀐 것 외에는 완전히 동일한 구조입니다. 두 위치 관계의 조건을 명확히 구분해야 합니다.
”
공통현이 다른 직선과 수직일 조건
“
두 원의 공통현이 다른 직선과 평행할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 방정식을 빼서 공통현의 방정식을 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
2. 이 공통현과 직선 y=x+3이 평행하므로, 두 직선의 기울기가 같다고 등식을 세웁니다.
3. 공통현의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 구하고, 이 기울기가 1(y=x+3의 기울기)과 같다고 놓아 a값을 구합니다.
주의할 점:
370번 문제와 마찬가지로 공통현의 방정식을 구하는 것이 첫 단계이며, 이후 직선의 평행 조건을 적용하는 흐름으로 이어집니다.
”
공통현이 다른 직선과 평행할 조건
“
두 원의 교점을 지나는 직선(공통현의 방정식)이 특정 점을 지날 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은, 두 원의 방정식을 각각 일반형으로 정리한 뒤 **한쪽 식에서 다른 쪽 식을 빼서** 구합니다. (x², y² 항이 소거됨)
2. 이렇게 구한 직선의 방정식은 미지수 a를 포함하게 됩니다.
3. 이 직선이 점 (1,2)를 지난다고 하였으므로, 좌표를 대입하여 a에 대한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
공통현의 방정식을 구하는 가장 간단한 방법은 ‘두 원의 방정식을 뺀다’는 것입니다. 이 방법을 반드시 기억해야 합니다.
”
두 원의 교점을 지나는 직선 (공통현)
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x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 곡선 위에 있는, 368번 문제와 유사한 유형입니다.
접근법:
1. 원의 중심이 제2사분면에 있고 x,y축에 동시에 접하므로, 중심 좌표를 (-r, r) (r>0) 로 설정할 수 있습니다.
2. 이 중심이 곡선 y=x²-x-1 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 r에 대한 이차방정식을 풉니다.
3. 양수 r값을 찾아 원의 중심과 반지름을 확정합니다.
4. 완성된 원의 방정식을 일반형으로 변환하여 계수 a,b,c를 찾고 최종 답을 구합니다.
주의할 점:
중심이 위치한 사분면에 따라 중심 좌표와 반지름 사이의 관계가 어떻게 설정되는지 정확히 아는 것이 중요합니다. (2사분면: 중심 (-r,r), 반지름 r)
”
x축, y축 동시 접촉과 중심이 2사분면
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x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 곡선 위에 있을 때, 모든 원의 반지름의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. x,y축에 동시에 접하는 원의 중심은 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다.
2. (경우 1) 중심이 y=x 위에 있을 때: 중심 (r,r)이 곡선 y=x²-12 위에 있다고 보고, 두 식을 연립하여 r에 대한 이차방정식을 풀어 가능한 모든 반지름을 구합니다.
3. (경우 2) 중심이 y=-x 위에 있을 때: 중심 (r,-r) 또는 (-r,r)이 곡선 위에 있다고 보고, 연립하여 가능한 모든 반지름을 구합니다.
4. 두 경우에서 나온 모든 양수 반지름의 값들을 더합니다.
주의할 점:
곡선과 두 직선(y=x, y=-x)의 교점을 찾는 문제로 귀결됩니다. 각 교점의 좌표가 원의 중심이 되고, 그 좌표의 절댓값이 반지름이 됩니다.
”
x축, y축 동시 접촉과 중심이 곡선 위
