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[문제 368] 핵심 개념 및 풀이 전략

x축과 y축에 동시에 접하는 원의 중심이 특정 곡선 위에 있을 때, 모든 원의 반지름의 합을 구하는 문제입니다.

접근법:
1. x,y축에 동시에 접하는 원의 중심은 y=x 또는 y=-x 위에 있습니다.
2. (경우 1) 중심이 y=x 위에 있을 때: 중심 (r,r)이 곡선 y=x²-12 위에 있다고 보고, 두 식을 연립하여 r에 대한 이차방정식을 풀어 가능한 모든 반지름을 구합니다.
3. (경우 2) 중심이 y=-x 위에 있을 때: 중심 (r,-r) 또는 (-r,r)이 곡선 위에 있다고 보고, 연립하여 가능한 모든 반지름을 구합니다.
4. 두 경우에서 나온 모든 양수 반지름의 값들을 더합니다.

주의할 점:
곡선과 두 직선(y=x, y=-x)의 교점을 찾는 문제로 귀결됩니다. 각 교점의 좌표가 원의 중심이 되고, 그 좌표의 절댓값이 반지름이 됩니다.

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x축, y축 동시 접촉과 중심이 곡선 위