“
원과 직선이 만나서 생기는 현의 길이를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
2. 원의 중심 C와 주어진 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
3. 원의 중심, 현의 중점, 현의 한 끝점은 직각삼각형을 이룹니다. **피타고라스 정리 (현의 길이/2)² + d² = r²** 를 이용합니다.
4. 이 관계식을 이용해 현의 길이의 절반을 구하고, 2를 곱하여 최종 답을 찾습니다.
주의할 점:
381번(공통현) 문제와 풀이의 마지막 단계(피타고라스 정리)는 완전히 동일합니다. 현의 길이는 항상 중심과의 거리를 이용해 구한다는 점을 기억하세요.
”
원과 직선이 만나는 현의 길이
“
공통현의 길이가 최대가 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원이 만날 때, 공통현의 길이는 **작은 원의 지름**보다 길어질 수 없습니다.
2. 따라서 공통현의 길이가 최대가 될 때는, **작은 원의 중심이 공통현 위에 있을 때**이며, 이때 공통현은 작은 원의 지름이 됩니다.
3. 두 원의 공통현의 방정식을 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
4. 작은 원(반지름 2)의 중심 (a,0)이 이 공통현 위에 있어야 하므로, 좌표를 대입하여 a에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
‘공통현의 길이 최대’라는 조건이 ‘작은 원의 중심이 공통현 위에 있다’는 조건으로 변환된다는 것을 이해하는 것이 중요합니다.
”
공통현의 길이가 최대가 될 조건
“
공통현의 길이가 특정 값으로 주어졌을 때, 원의 방정식에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 공통현의 길이가 2√10 이므로, 현의 길이의 절반은 √10 입니다.
2. 두 원 중 정보가 완전한 원(x²+y²-6x-6y=0)의 중심 C’와 반지름 r’을 구합니다.
3. 두 원의 공통현의 방정식을 미지수 k를 포함한 식으로 구합니다.
4. 원의 중심 C’와 공통현 사이의 거리 d를 구합니다.
5. 피타고라스 정리 **(현의 길이/2)² + d² = r’²** 에 모든 값을 대입하면, k에 대한 절댓값 방정식을 풀 수 있습니다.
주의할 점:
공통현의 길이를 구하는 과정을 역순으로 진행하는 문제입니다. 피타고라스 정리를 이용한 관계식이 핵심적인 역할을 합니다.
”
공통현의 길이가 주어졌을 때 미지수
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두 원의 교점을 지나는 원 중에서 넓이가 최소인 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점을 지나는 무수히 많은 원들 중에서 넓이가 최소가 되는 원은, 두 교점을 잇는 공통현을 지름으로 하는 원입니다.
2. 따라서, 이 문제의 목표는 **공통현의 길이**를 구하는 것입니다.
3. 381번 문제와 동일한 방법으로 공통현의 길이를 구합니다. 이 길이가 새로운 원의 지름이 됩니다.
4. 지름을 이용해 반지름을 구하고, 최소 원의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
‘넓이가 최소인 원’이라는 표현이 ‘공통현을 지름으로 하는 원’을 의미한다는 것을 반드시 기억해야 합니다.
”
교점을 지나는 원 중 넓이가 최소인 원
“
두 원의 공통현을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (밑변) 먼저 두 원의 공통현 AB의 길이를 구합니다. (381번 문제 참고)
2. (높이) 삼각형 O’AB의 높이는 원 C₂의 중심 O’에서 공통현 AB까지의 거리입니다. 이 거리는 공통현 길이를 구하는 과정에서 이미 계산됩니다.
3. (넓이) 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이) 공식을 이용해 답을 구합니다.
주의할 점:
공통현의 길이를 구하는 과정에서 필요한 모든 요소(밑변의 절반, 높이)가 삼각형 넓이를 구하는 데 그대로 사용됩니다.
”
공통현을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이
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두 원의 공통현의 중점의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 공통현의 중점은 (1)공통현(직선) 위에 있고, (2)두 원의 중심을 잇는 직선 위에도 있습니다.
2. 따라서 두 원의 공통현의 방정식을 구합니다.
3. 두 원의 중심 좌표를 각각 구하고, 이 두 중심을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
4. 2단계와 3단계에서 구한 두 직선의 방정식을 연립하여 교점을 찾으면, 그 점이 바로 공통현의 중점입니다.
주의할 점:
공통현의 중점이 두 원의 중심을 잇는 선분 위에 있다는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
두 원의 공통현의 중점 좌표
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두 원의 공통현의 길이를 구하는 대표적인 문제입니다.
접근법:
1. (공통현 방정식) 먼저 두 원의 방정식을 빼서 공통현(직선 PQ)의 방정식을 구합니다.
2. (한 원 선택) 두 원 중 계산이 더 간단한 원을 하나 선택하여 중심 C와 반지름 r을 구합니다.
3. (점과 직선 사이 거리) 선택한 원의 중심 C에서 공통현 직선까지의 거리 d를 구합니다.
4. (피타고라스 정리) 원의 중심, 현의 중점, 현의 한 끝점은 직각삼각형을 이룹니다. **(현의 길이/2)² + d² = r²** 관계를 이용해 현의 길이를 구합니다.
주의할 점:
공통현의 길이를 직접 구하는 공식은 없습니다. 반드시 (1)공통현 방정식 구하기 (2)중심과 현 사이 거리 구하기 (3)피타고라스 정리 적용하기, 3단계를 거쳐야 합니다.
”
두 원의 공통현의 길이 구하기
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두 원의 교점과 다른 두 점을 지나는 원의 방정식을 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식을 (원1) + k(원2) = 0 으로 설정합니다. 이 식은 미지수 a와 k를 포함하게 됩니다.
2. 이 원이 두 점 (0,4)와 (4,2)를 지나므로, 각 점의 좌표를 대입하여 a와 k에 대한 두 개의 연립방정식을 세웁니다.
3. 이 연립방정식을 풀어 a와 k값을 모두 구합니다.
4. 구한 a, k값을 이용해 원의 방정식을 완성하고 넓이를 구해 b를 찾은 뒤, 최종 답을 계산합니다.
주의할 점:
미지수가 두 개(a,k)이고, 대입할 점도 두 개가 주어져서 복잡한 연립방정식을 풀어야 하는 문제입니다. 침착한 계산이 요구됩니다.
”
두 원의 교점과 다른 두 점을 지나는 원
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두 원의 교점과 다른 한 점을 지나는 원의 넓이가 주어졌을 때, 원래 원의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 두 원의 교점과 점 (1,0)을 지나는 새로운 원의 방정식을 (원1) + k(원2) = 0 을 이용해 세웁니다. 점 (1,0)을 대입하면 k값을 구할 수 있습니다.
2. k값을 대입하여 새로운 원의 방정식을 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 이 방정식을 표준형으로 변환하여 반지름의 제곱(R²)을 a에 대한 식으로 구합니다.
4. 이 원의 넓이가 25π 이므로, R²=25 라는 등식을 세워 a값을 구합니다.
주의할 점:
377번 문제의 역순으로 진행되는 문제입니다. 넓이를 이용해 반지름을 역으로 추적하여 미지수를 구하는 흐름입니다.
”
교점을 지나는 원의 넓이가 주어질 때
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377번 문제와 동일하게, 두 원의 교점과 다른 한 점을 지나는 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **(원1) + k(원2) = 0** 형태의 식을 세웁니다.
2. 이 식이 점 (-3,-3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 k값을 구합니다.
3. 구한 k값을 다시 식에 대입하고 정리하여 최종 원의 방정식을 일반형으로 나타냅니다.
4. 계수 A, B, C를 찾고 문제에서 요구하는 값을 계산합니다.
주의할 점:
각 원의 방정식을 일반형(모든 항을 좌변으로 넘긴 형태)으로 만든 뒤에 (원1) + k(원2) = 0 식을 세워야 계산이 편리합니다.
”
두 원의 교점과 한 점을 지나는 원의 계수
