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[문제 354] 핵심 개념 및 풀이 전략

두 정점으로부터의 거리의 비가 일정한 점 P가 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다. 이 자취는 아폴로니우스의 원이 됩니다.

접근법:
1. 점 P의 좌표를 (x,y)로 설정합니다.
2. 문제에 주어진 비례식 PA:PB = 2:1 을 등식 PA = 2PB 로 바꿉니다.
3. 양변을 제곱하여 PA² = 4PB² 으로 만들면 루트 없이 계산할 수 있습니다.
4. 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 식을 전개하고 정리하면 x,y에 대한 이차방정식이 나옵니다.
5. 이 식을 표준형으로 변환하여 원의 중심 (a,b)와 반지름의 제곱(c)을 찾습니다.

주의할 점:
아폴로니우스의 원의 지름의 양 끝점은, 두 정점을 주어진 비율로 내분하는 점과 외분하는 점이 된다는 성질을 이용하면 더 빠르게 중심과 반지름을 구할 수 있습니다.

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거리의 비가 일정한 점의 자취 (아폴로니우스의 원)