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삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점을 찾는 문제입니다. 이 점은 삼각형의 외심과 같습니다.
접근법:
1. ‘수직이등분선의 교점’은 ‘외심’과 같고, 외심은 ‘세 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있는 점’이라는 정의를 이용하는 것이 더 편리합니다.
2. 외심의 좌표를 (a,b)로 둡니다.
3. PA=PB=PC 라는 조건에서, 연립방정식 PA²=PB² 과 PB²=PC² 을 세웁니다.
4. 두 방정식을 연립하여 a, b 값을 구합니다.
주의할 점:
수직이등분선의 방정식을 두 개 직접 구해서 교점을 찾아도 되지만, 외심의 정의를 이용해 거리 방정식을 세우는 것이 계산이 더 간단한 경우가 많습니다.
”
세 변의 수직이등분선의 교점 (외심)
“
방정식이 특정 조건을 만족하는 원이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 방정식을 표준형으로 변환하여 반지름의 제곱(R²)을 k에 대한 식으로 나타냅니다.
2. 문제의 조건은 반지름의 길이가 3 이하인 원입니다. 즉, 0 3. 이를 제곱하면 **0 4. 이 연립부등식을 풀어 k의 값의 범위를 찾고, 그 범위에 해당하는 모든 정수 값의 합을 구합니다.
주의할 점:
‘원’이 되어야 하므로 R²>0 조건이 기본적으로 포함되어야 하며, ‘반지름 3 이하’ 조건(R²≤9)이 추가된 것입니다. 두 조건을 모두 만족하는 범위를 찾아야 합니다.
”
반지름이 특정 값 이하인 원의 조건
“
방정식이 원이 되기 위한 조건을 묻는 응용 문제입니다. x²과 y²의 계수가 같아야 한다는 조건이 추가로 사용됩니다.
접근법:
1. 원의 방정식이 되려면, x²의 계수와 y²의 계수가 같아야 합니다. 이 문제에서는 x²의 계수가 1이므로, y²의 계수도 1이 되어야 합니다. 이 조건으로 k값을 먼저 결정합니다.
2. 결정된 k값들을 각각 원래 방정식에 대입하여 두 개의 원의 방정식을 얻습니다.
3. 각 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 찾습니다.
4. 두 중심 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
원이 되기 위한 첫 번째 조건은 ‘x²과 y²의 계수가 같고 xy항이 없는 이차방정식’이라는 점입니다. 반지름 조건 전에 계수 조건을 먼저 확인해야 합니다.
”
x², y²의 계수와 원이 될 조건
“
주어진 방정식이 원이 되기 위한 조건을 묻는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 방정식(일반형)을 완전제곱식을 이용하여 표준형 (x-a)²+(y-b)²=R² 형태로 변환합니다.
2. 이 식이 원이 되려면, 우변에 해당하는 반지름의 제곱(R²) 값이 반드시 0보다 커야 합니다.
3. R² > 0 이라는 부등식을 풀어 미지수 k의 값의 범위를 찾습니다.
4. 그 범위에 해당하는 정수 k의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
R²=0 이면 점이 되고, R² 0 이어야만 원이 된다는 사실을 기억해야 합니다.
”
방정식이 원이 되기 위한 조건
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x축과 y축에 의해 잘린 현(지름)과 원의 중심이 특정 직선 위에 있을 조건을 종합하여 원의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원이 원점, x축 위의 점 A, y축 위의 점 B를 지나므로, 삼각형 OAB는 직각삼각형입니다. 따라서 선분 AB가 원의 지름이 됩니다.
2. 점 A의 좌표를 (t,0)이라 하면, (가) 조건에 의해 점 B의 좌표는 (0, t+4)가 됩니다.
3. 원의 중심 C는 지름 AB의 중점이므로, C의 좌표를 t에 대한 식으로 표현할 수 있습니다.
4. (나) 조건에서 중심 C가 직선 y=3x 위에 있으므로, 중심의 좌표를 대입하여 t값을 구합니다.
5. t값이 확정되면 중심 좌표(a,b)와 반지름(r)을 모두 구할 수 있습니다.
주의할 점:
원점을 지나는 원이 x축, y축과 만나는 점을 이은 선분은 항상 원의 지름이 된다는 기하학적 성질을 파악하는 것이 중요합니다.
”
축과 만나는 점이 지름일 때 원 구하기
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338, 339번 문제와 동일하게 세 점을 지나는 원의 중심 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1: 외심 찾기) 원의 중심을 (p,q)라 하면, 중심에서 세 점까지의 거리가 모두 같습니다. 이 조건을 연립방정식으로 풀어 p, q를 구합니다.
2. (방법 2: 일반형 대입) 원의 방정식을 x²+y²+Ax+By+C=0으로 두고, 세 점의 좌표를 대입하여 A, B, C를 구합니다. 그 후, 표준형으로 바꿔 중심 좌표를 찾습니다.
3. 이 문제에서는 세 점 중 하나가 원점(0,0)이므로 방법 2가 더 간편합니다.
주의할 점:
어떤 방법을 사용하든 계산 과정이 길어질 수 있으므로, 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
세 점(원점 포함)을 지나는 원의 중심
“
네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 미지수가 없는 세 점 A, B, C를 지나는 원의 방정식을 구합니다.
2. 네 번째 점 D(k,2)가 이 원 위에 있어야 하므로, 1단계에서 구한 원의 방정식에 점 D의 좌표를 대입합니다.
3. 대입하면 k에 대한 이차방정식이 만들어집니다.
4. ‘모든 k의 값의 합’을 물었으므로, 근과 계수의 관계를 이용하거나 직접 두 근을 더하여 답을 구합니다.
주의할 점:
세 점이 주어지면 원은 하나로 결정됩니다. 네 번째 점은 그 결정된 원 위에 있기만 하면 된다는 원리를 이용하는 문제입니다.
”
네 점이 한 원 위에 있을 조건
“
세 점을 지나는 원의 넓이를 이등분하는 직선에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 세 점을 지나는 원의 방정식을 구하여 **원의 중심 좌표**를 찾습니다.
2. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
3. 주어진 직선 y=kx+9가 1단계에서 구한 원의 중심을 지난다고 보고, 중심의 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
4. 대입하면 k에 대한 간단한 일차방정식이 되며, 이를 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
원의 방정식을 전부 구할 필요 없이, ‘원의 중심’ 좌표만 구하면 되는 문제입니다. 세 점을 지나는 원의 중심은 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 ‘외심’과 같습니다.
”
세 점을 지나는 원의 넓이 이등분선
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세 점을 지나는 원의 방정식을 구하고, 그 원의 성질에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 세 점 (0,0), (2,2), (-4,2)를 지나는 원의 방정식을 구합니다. (338번 문제 참고)
2. 완성된 원의 방정식을 표준형으로 바꾸어 중심과 반지름을 찾습니다.
3. (보기 ㄱ) 원의 넓이(πr²)를 계산하여 비교합니다.
4. (보기 ㄴ) x축과 만나는 두 점 사이의 거리를 구합니다. (y=0 대입 후 이차방정식 풀이)
5. (보기 ㄷ) 주어진 직선이 원의 중심을 지나는지 확인합니다.
주의할 점:
세 점 중 원점이 포함되어 있어 일반형에 대입하면 상수항 C=0이 되어 계산이 간편해집니다. 각 보기에서 묻는 개념을 정확히 적용해야 합니다.
”
세 점을 지나는 원의 성질 판별
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세 점을 지나는 원의 방정식을 구하는 가장 대표적인 유형입니다.
접근법:
1. (방법 1: 연립방정식) 원의 방정식을 일반형(x²+y²+Ax+By+C=0)으로 설정하고, 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 A, B, C에 대한 연립방정식을 풉니다.
2. (방법 2: 외심 찾기) 원의 중심은 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심과 같습니다. 중심에서 세 점까지의 거리가 모두 같다는 성질(PA=PB=PC)을 이용해 중심의 좌표를 구하고, 반지름을 찾아 방정식을 완성합니다.
주의할 점:
세 점 중 하나가 원점이거나 좌표축 위의 점일 경우, 방법 1(일반형 대입)이 계산이 더 간편한 경우가 많습니다. 방법 2는 삼각형 두 변의 수직이등분선의 교점을 찾는 방법으로도 풀 수 있습니다.
”
세 점을 지나는 원의 방정식
