“
이차함수의 꼭짓점과 원의 중심이 일치할 때, 미정계수를 찾는 융합 문제입니다.
접근법:
1. 이차함수 식을 완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점 A의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 미지수 b를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 두 점의 좌표가 일치하므로, x좌표는 x좌표끼리, y좌표는 y좌표끼리 같다고 등식을 세웁니다.
4. 두 등식을 통해 a와 b의 값을 각각 구합니다.
주의할 점:
이차함수의 꼭짓점을 구하는 방법과 원의 방정식의 중심을 구하는 방법을 모두 정확히 알고 있어야 풀 수 있는 문제입니다.
”
이차함수 꼭짓점과 원의 중심 일치
“
원의 중심을 지나는 직선, 즉 넓이를 이등분하는 직선에 대한 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=2x+3이 원의 중심을 지납니다.
2. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 2단계에서 구한 중심의 좌표를 직선의 방정식 y=2x+3에 대입합니다.
4. 대입하면 a에 대한 간단한 일차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
원의 일반형에서 중심의 좌표를 빠르게 찾는 연습이 필요합니다. (중심 x좌표 = – (x계수)/2, 중심 y좌표 = – (y계수)/2)
”
직선이 원의 중심을 지날 조건
“
직선이 원의 넓이를 이등분할 때, 만들어지는 삼각형 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 원의 중심을 지납니다. 이 조건을 이용해 원의 방정식에 포함된 미지수 a를 먼저 구합니다.
2. 이제 원의 방정식이 확정됩니다. 반지름의 길이도 알 수 있습니다.
3. 직선이 원과 만나는 두 점 A, B는 지름의 양 끝점이 됩니다. 선분 AB가 삼각형의 밑변이 됩니다.
4. 삼각형 ABC의 넓이가 최대가 되려면, 높이가 최대여야 합니다. 높이가 최대일 때는 점 C에서 지름 AB에 내린 수선의 길이가 **반지름**이 될 때입니다.
5. 넓이 최댓값 = 1/2 * (밑변 AB) * (최대 높이) = 1/2 * (지름) * (반지름) = 반지름² 이 됩니다.
주의할 점:
지름을 밑변으로 하는 내접삼각형의 넓이가 최대가 될 때는, 높이가 반지름인 직각이등변삼각형일 때입니다.
”
넓이 이등분과 삼각형 넓이 최댓값
“
하나의 직선이 두 개의 원의 넓이를 동시에 이등분하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선이 원의 넓이를 이등분하려면, 반드시 그 원의 중심을 지나야 합니다.
2. 따라서 두 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은, **두 원의 중심을 모두 지나는 유일한 직선**입니다.
3. 각 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 두 원의 중심 좌표를 각각 구합니다.
4. 이 두 중심의 좌표를 주어진 직선의 방정식에 대입하면, 미지수 a와 b에 대한 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
5. 연립방정식을 풀어 a, b 값을 구합니다.
주의할 점:
넓이 이등분 조건은 중심을 지난다는 조건과 같다는 것을 파악하면, 결국 두 점을 지나는 직선 문제로 귀결됩니다.
”
두 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선
“
원과 직선이 만나는 현의 길이가 최대가 될 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 원에서 가장 긴 현은 바로 원의 지름입니다.
2. 따라서 현 AB의 길이가 최대가 되려면, 직선 4x+3y+k=0이 원의 지름을 포함해야 합니다.
3. 이는 곧 직선이 원의 중심을 지난다는 것을 의미합니다.
4. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심의 좌표를 찾습니다.
5. 찾은 중심의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 k값을 구합니다.
주의할 점:
‘현의 길이가 최대’라는 기하학적 표현을 ‘직선이 원의 중심을 지난다’는 대수적 조건으로 해석하는 능력이 핵심입니다.
”
현의 길이가 최대가 될 조건 (지름)
“
주어진 방정식이 원을 나타낼 조건을 이해하고, 그 조건 하에서 원의 넓이가 최대가 될 때를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 방정식을 표준형으로 변환합니다. (x-1)²+y² = -a²+6a.
2. 이 식이 원이 되려면, 우변(반지름의 제곱)이 **0보다 커야** 합니다. 이 조건으로 a의 범위를 구합니다.
3. 원의 넓이가 최대가 되려면 반지름, 즉 반지름의 제곱이 최대가 되어야 합니다. 우변에 있는 a에 대한 이차식의 최댓값을 구합니다.
4. 2단계에서 구한 a의 범위 내에서, 3단계의 이차식이 언제 최댓값을 갖는지 확인하고, 그 최댓값을 이용해 반지름을 구합니다.
주의할 점:
방정식이 원이 되기 위한 조건은 (반지름)² > 0 이라는 점을 반드시 기억해야 합니다.
”
방정식이 원이 될 조건과 넓이의 최댓값
“
원의 방정식 일반형에서 원의 넓이가 주어졌을 때, 계수에 포함된 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 방정식을 x와 y에 대해 완전제곱식을 이용하여 표준형으로 변환합니다.
2. 표준형 (x-A)²+(y-B)²=R² 에서 우변에 해당하는 R²이 바로 **반지름의 제곱**입니다. 이 식은 미지수 a를 포함하게 됩니다.
3. 원의 넓이가 45π 이므로, 반지름의 제곱 R²은 45입니다.
4. 2단계에서 구한 a에 대한 식이 45와 같다고 등식을 세워 a에 대한 방정식을 풉니다.
5. ‘모든 a의 값의 곱’을 물었으므로, 근과 계수의 관계를 이용합니다.
주의할 점:
일반형을 표준형으로 바꾸는 과정, 특히 상수항 부분을 정확하게 이항하고 정리하는 것이 중요합니다.
”
원의 넓이가 주어졌을 때 미지수 찾기
“
원의 방정식 일반형을 표준형으로 변환한 뒤, 그 원의 여러 가지 성질에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 원의 방정식(일반형)을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 정확히 구합니다.
2. (보기 ㄱ) 1단계에서 구한 중심, 반지름과 비교합니다.
3. (보기 ㄴ) 원이 x축(또는 y축)에 접하는지 판별합니다. x축에 접할 조건은 **|중심의 y좌표| = 반지름** 입니다.
4. (보기 ㄷ) 직선이 원의 넓이를 이등분하는지 판별합니다. 이는 **직선이 원의 중심을 지나는지** 확인하는 것과 같습니다.
주의할 점:
축에 접할 조건, 넓이를 이등분할 조건 등 원의 중요한 성질들을 정확히 숙지하고 있어야 합니다.
”
원의 방정식 성질의 참/거짓 판별
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원의 방정식 일반형을 표준형으로 바꾸고, 중심이 같고 한 점을 지나는 원을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원의 방정식(일반형)을 완전제곱식을 이용하여 표준형으로 변환합니다.
2. 표준형으로부터 중심의 좌표를 찾습니다.
3. 구하려는 원은 중심이 같고 점 (5,1)을 지납니다. 중심과 이 점 사이의 거리를 구해 **반지름의 제곱(r²)**을 찾습니다.
4. 최종적으로 a,b,r² 값을 더합니다.
주의할 점:
일반형을 표준형으로 바꾸는 과정에서 상수항을 정확히 계산해야 합니다. 완전제곱식을 만들기 위해 더해준 값들을 우변에도 동일하게 더해주는 것을 잊지 마세요.
”
일반형을 표준형으로 변환하기
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원의 중심이 특정 직선 위에 있고, 원 위의 점으로 만들어지는 삼각형 넓이의 최댓값을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 방정식을 표준형으로 변형하여 중심 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 중심이 직선 y=2x-1 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
3. 삼각형 ABP의 밑변 AB는 원의 중심을 지나는 직선 위에 있으므로, 선분 AB는 이 원의 **지름**이 됩니다.
4. 삼각형 ABP의 넓이가 최대가 되려면 높이가 최대여야 하며, 이는 원의 **반지름**의 길이와 같습니다.
5. 넓이 최댓값 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이) = 1/2 * (지름) * (반지름) = 반지름²** 이 됩니다. 이 값이 4임을 이용해 b값을 구합니다.
주의할 점:
삼각형 넓이의 최댓값을 반지름을 이용해 표현하는 것이 핵심입니다. 밑변이 지름일 때 높이의 최댓값은 반지름이라는 기하학적 관계를 파악해야 합니다.
”
삼각형 넓이 최댓값과 원의 중심
