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평행사변형의 가장 중요한 성질 중 하나를 이용하여 꼭짓점의 좌표를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 평행사변형의 두 대각선은 **서로를 이등분**합니다. 즉, 두 대각선의 **중점이 일치**합니다.
2. 대각선 AC의 중점 좌표를 구합니다.
3. 대각선 BD의 중점 좌표를 구합니다.
4. 두 중점의 x좌표는 x좌표끼리, y좌표는 y좌표끼리 같다고 등식을 세워 미지수 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
대각선은 마주보는 꼭짓점을 이은 선분(AC와 BD)입니다. 이웃한 꼭짓점(AB와 CD)을 연결하는 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.
”
평행사변형의 성질 (대각선 중점)
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입체도형에서의 무게중심과 최단 거리를 묻는 고난도 문제입니다. 전개도를 활용하여 평면 문제로 바꾸어 푸는 것이 핵심입니다.
접근법:
1. 최단 거리 문제는 두 점을 평면 위에 펼쳐 직선으로 잇는 것이 기본입니다. 사각뿔의 옆면을 펼친 전개도를 그립니다.
2. 전개도 위에서 두 무게중심 G와 G’의 위치를 정확히 표시합니다.
3. GP+PQ+QG’의 최솟값은 전개도에서 **선분 GG’의 길이**와 같습니다.
4. 정삼각형의 높이와 무게중심의 성질을 이용해 한 변의 길이를 미지수 a로 두고 GG’의 길이를 a에 대한 식으로 표현합니다.
5. 이 식이 문제에서 주어진 값과 같다고 놓고 방정식을 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
공간 도형을 2차원 평면(전개도)으로 변환하여 사고하는 능력이 필요하며, 정삼각형의 무게중심이 높이를 2:1로 내분한다는 성질을 정확히 활용해야 합니다.
”
사각뿔의 무게중심과 최단 거리
“
매우 중요한 성질을 묻는 문제입니다. 평면 위의 한 점에서 삼각형의 세 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 최소가 되게 하는 점은 그 삼각형의 무게중심입니다.
접근법:
1. 이 성질을 알고 있다면, 문제에서 요구하는 점 P는 삼각형 ABC의 무게중심과 같다는 것을 바로 알 수 있습니다.
2. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 공식을 적용하여 점 P의 좌표를 구합니다.
3. 문제에서 요구하는 좌표의 합을 계산합니다.
주의할 점:
이 성질을 모를 경우, 점 P를 (x,y)로 두고 거리의 제곱의 합을 x, y에 대한 이차식으로 표현한 뒤, 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 찾아야 합니다. 이는 시간이 매우 오래 걸리므로, 성질 자체를 암기하는 것이 효율적입니다.
”
거리 제곱 합이 최소인 점 (무게중심)
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그림이 복잡하지만, 주어진 점들의 기하학적 관계를 파악하면 중점과 무게중심의 개념으로 단순화할 수 있는 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]문제의 조건(같은 거리에 있는 직선)과 그림의 합동 관계를 통해, 점 A는 선분 PQ의 중점, 점 B는 선분 PR의 중점임을 파악해야 합니다. [cite: 2275, 2280]
2. 주어진 P, Q, R 좌표를 이용해 두 중점 A, B의 좌표를 구합니다.
3. 점 C는 선분 QR의 중점이라고 주어졌으므로, C의 좌표도 구합니다.
4. 최종적으로 세 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심을 구합니다.
주의할 점:
문제 초반의 복잡한 설정에서 점 A, B, C가 각각 다른 선분들의 중점이라는 사실을 추론해내는 것이 가장 중요한 단계입니다.
”
무게중심과 합동/중점 활용
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84번의 원리를 역으로 이용하는 문제입니다. 내분점으로 만든 삼각형의 무게중심을 통해 원래 삼각형의 꼭짓점을 추적합니다.
접근법:
1. 내분점으로 만든 삼각형 DEF의 무게중심이 (2,1)이므로, 원래 삼각형 ABC의 무게중심 또한 (2,1)입니다.
2. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심을 구하는 공식을 사용합니다. (A, B는 주어졌고 C는 미지수)
3. 이 공식으로 구한 무게중심의 좌표가 (2,1)과 같다고 등식을 세워, 미지수인 점 C의 좌표(a,b)를 구합니다.
주의할 점:
세 변을 동일한 비율로 내분(또는 외분)한 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 같다는 성질을 알고 있는지가 문제 해결의 관건입니다.
”
무게중심을 이용한 꼭짓점 좌표
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83번 문제와 동일한 원리가 적용됩니다. 삼각형의 세 변을 일정한 비율(m:n)로 내분하여 만든 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 일치합니다.
접근법:
1. 원래 삼각형의 꼭짓점을 구할 필요 없이, 주어진 내분점 P, Q, R을 꼭짓점으로 하는 **삼각형 PQR의 무게중심**을 구합니다.
2. 이 무게중심이 원래 삼각형 ABC의 무게중심과 정확히 일치합니다.
3. 세 점 P, Q, R의 좌표로 무게중심을 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
이 성질은 내분 비율이 m:n으로 동일하기만 하다면 항상 성립합니다. 중점(1:1 내분)은 이 성질의 특수한 경우입니다.
”
내분점들의 무게중심과 원래 무게중심
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매우 중요한 성질을 이용하는 문제입니다. 삼각형 세 변의 중점으로 만든 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 일치합니다.
접근법:
1. 원래 삼각형의 꼭짓점 A, B, C를 구하려고 노력할 필요가 없습니다.
2. 주어진 중점 P, Q, R을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 PQR의 무게중심을 구하면 됩니다.
3. 세 점 P, Q, R의 좌표를 이용해 무게중심 공식을 적용하면 그것이 바로 삼각형 ABC의 무게중심입니다.
주의할 점:
이 성질을 모르면 70번 문제처럼 복잡한 연립방정식을 풀어야 합니다. 이 성질은 반드시 암기해두는 것이 좋습니다.
”
중점들의 무게중심과 원래 무게중심
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이차함수와 직선의 교점으로 만들어지는 삼각형의 무게중심을 찾는 문제입니다. 근과 계수의 관계를 활용하면 효율적입니다.
접근법:
1. 삼각형의 세 꼭짓점은 원점 O, 그리고 두 교점 A, B입니다.
2. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타라고 둡니다. 이들은 두 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
3. 근과 계수의 관계를 이용해 두 근의 합(알파+베타)과 곱을 구합니다.
4. 무게중심의 x좌표는 (0+알파+베타)/3 입니다. y좌표 또한 교점이 직선 위의 점임을 이용해 두 근의 합으로 표현할 수 있습니다.
주의할 점:
교점의 좌표를 근의 공식을 써서 직접 구하면 계산이 매우 복잡해집니다. 두 근의 ‘합’과 ‘곱’만으로 무게중심의 좌표를 표현할 수 있다는 점이 이 유형의 핵심입니다.
”
포물선과 직선 교점의 무게중심
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삼각형이 이등변삼각형이라는 조건과 무게중심이 x축 위에 있다는 두 가지 조건을 연립하여 푸는 문제입니다.
접근법:
1. (조건 1: 이등변삼각형) AC=BC 라는 조건에서, 양변을 제곱하여 AC²=BC² 이라는 등식을 세워 미지수 a, b의 관계식을 하나 얻습니다.
2. (조건 2: 무게중심) 무게중심이 x축 위에 있다는 것은 무게중심의 y좌표가 0이라는 의미입니다. 무게중심의 y좌표를 구하는 식 = 0 이라고 놓고 두 번째 관계식을 얻습니다.
3. 두 관계식을 연립하여 a와 b의 값을 구합니다.
주의할 점:
이등변삼각형의 꼭짓점 C는 밑변 AB의 수직이등분선 위에 있다는 성질을 이용하면, 수직이등분선의 방정식을 구해서 푸는 다른 접근도 가능합니다.
”
이등변삼각형과 무게중심 조건
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여러 점(꼭짓점, 중점, 무게중심)의 관계가 복합적으로 주어졌을 때, 무게중심의 성질을 이용해 좌표를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A와 선분 AB의 중점 좌표를 이용해 점 B의 좌표를 먼저 구합니다.
2. 이제 꼭짓점 B와 선분 AC의 중점 M, 그리고 무게중심 G의 관계에 주목합니다.
3. 선분 BM은 삼각형의 중선이며, 무게중심 G는 이 중선을 **2:1로 내분**합니다.
4. 이 성질을 이용해 식을 세우면 중점 M의 좌표에 포함된 미지수 a를 구할 수 있습니다.
5. 무게중심의 y좌표가 b임을 이용해 b값도 찾습니다.
주의할 점:
어떤 선분이 중선이 되는지를 파악하고, 무게중심의 2:1 내분 성질을 적용하는 것이 문제 해결의 돌파구입니다.
”
중점과 무게중심으로 꼭짓점 구하기
