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84번의 원리를 역으로 이용하는 문제입니다. 내분점으로 만든 삼각형의 무게중심을 통해 원래 삼각형의 꼭짓점을 추적합니다.
접근법:
1. 내분점으로 만든 삼각형 DEF의 무게중심이 (2,1)이므로, 원래 삼각형 ABC의 무게중심 또한 (2,1)입니다.
2. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심을 구하는 공식을 사용합니다. (A, B는 주어졌고 C는 미지수)
3. 이 공식으로 구한 무게중심의 좌표가 (2,1)과 같다고 등식을 세워, 미지수인 점 C의 좌표(a,b)를 구합니다.
주의할 점:
세 변을 동일한 비율로 내분(또는 외분)한 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 같다는 성질을 알고 있는지가 문제 해결의 관건입니다.
”
무게중심을 이용한 꼭짓점 좌표
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83번 문제와 동일한 원리가 적용됩니다. 삼각형의 세 변을 일정한 비율(m:n)로 내분하여 만든 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 일치합니다.
접근법:
1. 원래 삼각형의 꼭짓점을 구할 필요 없이, 주어진 내분점 P, Q, R을 꼭짓점으로 하는 **삼각형 PQR의 무게중심**을 구합니다.
2. 이 무게중심이 원래 삼각형 ABC의 무게중심과 정확히 일치합니다.
3. 세 점 P, Q, R의 좌표로 무게중심을 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
이 성질은 내분 비율이 m:n으로 동일하기만 하다면 항상 성립합니다. 중점(1:1 내분)은 이 성질의 특수한 경우입니다.
”
내분점들의 무게중심과 원래 무게중심
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매우 중요한 성질을 이용하는 문제입니다. 삼각형 세 변의 중점으로 만든 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 일치합니다.
접근법:
1. 원래 삼각형의 꼭짓점 A, B, C를 구하려고 노력할 필요가 없습니다.
2. 주어진 중점 P, Q, R을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 PQR의 무게중심을 구하면 됩니다.
3. 세 점 P, Q, R의 좌표를 이용해 무게중심 공식을 적용하면 그것이 바로 삼각형 ABC의 무게중심입니다.
주의할 점:
이 성질을 모르면 70번 문제처럼 복잡한 연립방정식을 풀어야 합니다. 이 성질은 반드시 암기해두는 것이 좋습니다.
”
중점들의 무게중심과 원래 무게중심
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이차함수와 직선의 교점으로 만들어지는 삼각형의 무게중심을 찾는 문제입니다. 근과 계수의 관계를 활용하면 효율적입니다.
접근법:
1. 삼각형의 세 꼭짓점은 원점 O, 그리고 두 교점 A, B입니다.
2. 두 교점의 x좌표를 알파, 베타라고 둡니다. 이들은 두 식을 연립한 이차방정식의 두 근입니다.
3. 근과 계수의 관계를 이용해 두 근의 합(알파+베타)과 곱을 구합니다.
4. 무게중심의 x좌표는 (0+알파+베타)/3 입니다. y좌표 또한 교점이 직선 위의 점임을 이용해 두 근의 합으로 표현할 수 있습니다.
주의할 점:
교점의 좌표를 근의 공식을 써서 직접 구하면 계산이 매우 복잡해집니다. 두 근의 ‘합’과 ‘곱’만으로 무게중심의 좌표를 표현할 수 있다는 점이 이 유형의 핵심입니다.
”
포물선과 직선 교점의 무게중심
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삼각형이 이등변삼각형이라는 조건과 무게중심이 x축 위에 있다는 두 가지 조건을 연립하여 푸는 문제입니다.
접근법:
1. (조건 1: 이등변삼각형) AC=BC 라는 조건에서, 양변을 제곱하여 AC²=BC² 이라는 등식을 세워 미지수 a, b의 관계식을 하나 얻습니다.
2. (조건 2: 무게중심) 무게중심이 x축 위에 있다는 것은 무게중심의 y좌표가 0이라는 의미입니다. 무게중심의 y좌표를 구하는 식 = 0 이라고 놓고 두 번째 관계식을 얻습니다.
3. 두 관계식을 연립하여 a와 b의 값을 구합니다.
주의할 점:
이등변삼각형의 꼭짓점 C는 밑변 AB의 수직이등분선 위에 있다는 성질을 이용하면, 수직이등분선의 방정식을 구해서 푸는 다른 접근도 가능합니다.
”
이등변삼각형과 무게중심 조건
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여러 점(꼭짓점, 중점, 무게중심)의 관계가 복합적으로 주어졌을 때, 무게중심의 성질을 이용해 좌표를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A와 선분 AB의 중점 좌표를 이용해 점 B의 좌표를 먼저 구합니다.
2. 이제 꼭짓점 B와 선분 AC의 중점 M, 그리고 무게중심 G의 관계에 주목합니다.
3. 선분 BM은 삼각형의 중선이며, 무게중심 G는 이 중선을 **2:1로 내분**합니다.
4. 이 성질을 이용해 식을 세우면 중점 M의 좌표에 포함된 미지수 a를 구할 수 있습니다.
5. 무게중심의 y좌표가 b임을 이용해 b값도 찾습니다.
주의할 점:
어떤 선분이 중선이 되는지를 파악하고, 무게중심의 2:1 내분 성질을 적용하는 것이 문제 해결의 돌파구입니다.
”
중점과 무게중심으로 꼭짓점 구하기
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72번 문제와 유사하게, 삼각형의 무게중심이 특정 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점의 좌표를 이용해 무게중심의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 구합니다.
2. 무게중심이 직선 y=x 위에 있으므로, **(무게중심의 x좌표) = (무게중심의 y좌표)** 라는 등식이 성립합니다.
3. 이 등식을 풀어 미지수 a의 값을 구합니다.
주의할 점:
점이 직선 위에 있다는 조건을 ‘좌표 대입’으로 해석하는 기본적인 원리를 무게중심에 적용하는 문제입니다. 직선의 형태에 따라 적용 방식이 조금씩 달라질 수 있습니다.
”
무게중심이 특정 직선 위에 있을 조건
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세 직선의 교점으로 만들어지는 삼각형의 무게중심을 이용해 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 OAB의 세 꼭짓점은 원점 O(0,0), 점 A, 점 B입니다.
2. 점 A와 B의 좌표를 각각 미지수를 이용해 설정합니다. (A는 y=1/3x 위의 점, B는 y=2x 위의 점)
3. 세 꼭짓점의 좌표를 이용해 무게중심의 좌표를 식으로 표현합니다.
4. 이 식이 주어진 무게중심 좌표와 같다고 놓고 연립방정식을 풀어 점 A, B의 실제 좌표를 구합니다.
5. 점 A 또는 B는 직선 y=-3x+k 위의 점이기도 하므로, 좌표를 대입하여 k값을 구합니다.
주의할 점:
각 점이 어느 직선 위에 있는지 명확히 구분하고, 무게중심 공식과 직선의 방정식 대입을 순서대로 진행해야 합니다.
”
직선 교점과 무게중심
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정삼각형의 중요한 성질 중 하나는 외심, 내심, 무게중심이 모두 일치한다는 것입니다. 이 문제에서는 무게중심의 성질을 활용합니다.
접근법:
1. 정삼각형에서 무게중심은 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선(중선이자 높이)을 2:1로 내분합니다.
2. 꼭짓점 A와 무게중심 O(원점) 사이의 거리를 구합니다. 이 거리가 높이의 2/3에 해당합니다.
3. 이를 통해 삼각형의 전체 높이를 구할 수 있습니다.
4. 정삼각형의 높이와 한 변의 길이 사이의 관계(높이 = (√3/2) * 한 변)를 이용해 한 변의 길이를 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 성질을 기하학적으로 접근해야 쉽게 풀 수 있습니다. 단순히 좌표 계산에만 의존하면 풀이가 매우 복잡해질 수 있습니다.
”
정삼각형 꼭짓점과 무게중심
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한 꼭짓점과 그 대변의 중점, 즉 중선의 양 끝점 좌표가 주어졌을 때 무게중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 무게중심은 중선을 꼭짓점으로부터 2:1로 내분하는 점에 위치합니다.
2. 문제에서 꼭짓점 A의 좌표와 변 BC의 중점 M의 좌표가 주어졌으므로, 선분 AM이 바로 중선입니다.
3. 따라서 선분 AM을 2:1로 내분하는 점의 좌표를 구하면 그것이 바로 무게중심의 좌표입니다.
주의할 점:
무게중심의 정의와 성질을 명확히 알고 있다면, 나머지 두 꼭짓점 B, C의 좌표를 전혀 몰라도 무게중심을 구할 수 있습니다.
”
꼭짓점과 중점으로 무게중심 구하기
