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[문제 87] 핵심 개념 및 풀이 전략

매우 중요한 성질을 묻는 문제입니다. 평면 위의 한 점에서 삼각형의 세 꼭짓점까지의 거리의 제곱의 합이 최소가 되게 하는 점은 그 삼각형의 무게중심입니다.

접근법:
1. 이 성질을 알고 있다면, 문제에서 요구하는 점 P는 삼각형 ABC의 무게중심과 같다는 것을 바로 알 수 있습니다.
2. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 공식을 적용하여 점 P의 좌표를 구합니다.
3. 문제에서 요구하는 좌표의 합을 계산합니다.

주의할 점:
이 성질을 모를 경우, 점 P를 (x,y)로 두고 거리의 제곱의 합을 x, y에 대한 이차식으로 표현한 뒤, 완전제곱식으로 변형하여 최솟값을 찾아야 합니다. 이는 시간이 매우 오래 걸리므로, 성질 자체를 암기하는 것이 효율적입니다.

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거리 제곱 합이 최소인 점 (무게중심)