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[문제 101] 핵심 개념 및 풀이 전략

두 점으로부터의 거리의 제곱의 차가 일정할 때, 그 점이 그리는 도형(자취)의 방정식을 구하는 문제입니다.

접근법:
1. 구하려는 도형 위의 점을 P(x, y)로 설정합니다.
2. 두 점 A, B와 점 P 사이의 거리의 제곱(PA², PB²)을 각각 x, y에 대한 식으로 나타냅니다. 제곱이므로 루트가 사라집니다.
3. 문제에 주어진 조건 ‘PA² – PB² = 5’에 맞게 식을 세웁니다.
4. 식을 전개하고 정리하면 이차항(x², y²)이 모두 소거되어 x와 y에 대한 일차방정식, 즉 직선의 방정식이 남습니다.

주의할 점:
거리의 제곱의 ‘차’가 일정한 점의 자취는 직선이 되고, 거리의 ‘합’이 일정한 점의 자취는 타원, 거리의 ‘비’가 일정한 점의 자취는 원(아폴로니우스의 원)이 됩니다. 각 조건에 따라 어떤 도형이 되는지 연계해서 기억해두면 좋습니다.

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거리 제곱의 차와 자취의 방정식